Koshidiń ulıwmalasqan máselesi tómendegishe qoyıladı: (6) teńlemeniń berilgen

4.Koshi usılı. Koshidiń ulıwmalasqan máselesi tómendegishe qoyıladı: (6) teńlemeniń berilgen

iymek sızıqtan ótiwshi integral betligi tabılsın. Ádette qoyılǵan máseleniń sheshimi tómendegi
(25)
parametrik kóiniste izlew qolaylı boladı, bunda s parametr. Bunday kórinisinde izleymiz, degen ańlatpanı berilgen iymek sızıqtan ótiwshi betlik bir parametrli (25) iymek sızıqlar shańaraǵında jatıwshı noqatlardan dúziledi dep túsiniw kerek. (25) iymek sızıqlardı xarakteristikalar dep ataladı (77-sızılma). Koshi usılınıń ideası qısqasha tómendegiden ibarat: áweli bir neshe parametrge baylanıslı bolǵan xarakteristikalar shańaraǵı tabıladı, soń xarakteristikalardıń iymek sızıq noqtalarınan ótiwinen hám taǵı ayırım shártlerdi qanatlandırıwınan paydalanıp, bir parametrli iymek sızıqlar shańaraǵın tabamız (bunda s ti parametr dep esaplaw múmkin). Bul iymek sızıqlarda jatıwshı noqatlardıń kópligi ızlenip atırǵan integral betlikti payda etedi, funkciya funkciya

teńlemeniń intefral betliginen ibarat bolsın. (6) birdeylikti x hám y boyınsha differenciallaymız:

bolǵanı ushın aldınǵı teńliklerdi tómendegishe jazıw múmkin:
(26)
Bul teńliklerde z ti x hám y tiń belgili funkciyası dep esaplanadı. p hám q ǵa qarata kvazisızıqlı bolǵan teńlemelerdiń (26) sisteması ushın xaralteristikalar tómendegishe jazıladı:

yaki bul eki sistemanı birlestirip, usı
(27)
kórinisinde jazıw múmkin.
z funkciya p hám q lar menen

teńleme menen baylanıslı bolǵanı ushın, xaralteristika boylap

yaki
(28)
teńlik payda boladı. (n bere28) bolsa (27) sistemanı jáne bir teńleme menen toltırıw imkanın berdi. Solay etip, funkciyanı (6) teńlemeniń sheshimi dep esaplap, usı
(28´)
sistemaǵa keldik. (28´) teńlemelerden (6) teńlemeniń sheshimin bilmegen jaǵdayda funkciyaların tabıw múmkin, yaǵnıy xarakteristikalar dep atalıwshı

iymek sızıqlardı hámde usı
(29)
tegisliktiń baǵıtın anıqlawshı hám sanlardı xarakteristikanıń hárbir noqatında tabıw múmkin. Xarakteristika hám onıń hárbir noqatına tiyisli (29) tegislik birgelikte xarakteristik keńlik (polosa) delinedi.
Endi (6) teńlemeniń integral betligi xarakteristikalardan dúziliwi múmkinligin kórsetemiz. Áweli (28') sistemanıń integral sızıǵı boylap F funkciyanıń mánisi turaqlı, yag'nıy

bolıwına, basqasha aytqanda funkciya (28) sistemanıń birinshi integralı ekenligine isenim payda etiw qıyın emes. Haqıyqatında da, (28´) sistemanıń integral sızıǵı boylap:

Demek, (28´) sistemanıń hárbir sheshimi boylap tómendegi qatnaslar orınlı:
.
(28´) sistemanıń integral sızıqları boylap, (6) teńlemeni qanaatlandırıwı ushın
baslanǵısh mánislerdi sonday etip saylap alıw kerek, olar

teńlemeni qanaatlandırsın. Bul teńlemeni qanaatlandıratuǵın baslanǵısh shártlerde (28´) sistemanı integrallap, lardı tabamız. s tiń tayın mánisinde xarakteristikalardan birewine iye bolamız:

s ti ózgertire barıp bazıbir betligin payda etemiz. Bul betliktiń hárbir noqatında bolǵanda (6) teńlemeni qanaatlandıradı, biraq sonıń menen birge
yaki qatnastıń orınlı yaki orınlı emes ekenligin anıqlaw kerek. Aqırǵı teńlikti x hám y ler s hám t ózgeriwshilerine bayalanıslı bolǵanı ushın bılay jazıw múmkin:
.
Bul teńlik ese usı
(30)
(31)
eki teńlemege ekvivalent. (28´) sistemaǵa tiykarlanıp

bolǵanı ushın (28´) sistemada s tayın mániske iye dep esaplaǵanımız ushın lardı jazsaq, (31) teńlik orınlanadı. (30) teńliktiń birdeylikke aylanıwın dálillew ushın onıń shep bólegin u arqalı belgilep alamız, yaǵnıy