Kramer Usılı hám Onı Qóllaw

Kramer Usılı hám Onı Qóllaw
Cramer usılı - linear algebraik teńlemeler sistemasın (SLAE) sheshiwdiń anıq usıllarınan biri bolıp tabıladı. Onıń anıqlıǵı sistemanıń matritsasini belgileytuǵın faktorlardan, sonıń menen birge, teoremani tastıyıqlaw processinde qollanılatuǵın arnawlı bir sheklewlerden kelip shıǵadı.

X1, x2,.. ., xn belgisiz bolǵan R-nomerlerine tiyisli bolǵan koefficiyentleri bolǵan sızıqlı algebraik teńlemeler sisteması - sırtqı kórinislerdiń ańlatpaları kompleksi

Ai2 x1 + ai2 x2 +... ain xn = bi ushın i = 1, 2,.. ., m, (1)

Aij, bi haqıyqıy nomerler. Bul ańlatpalardıń hár birine lineer teńleme, belgisiz ushın aij - koefficiyent, teńsizlikler bi - erkin koefficiyentleri dep ataladı.

Sistema daǵı (1) eritpesi x1, x2,.. ., xn belgisiz sistemalar ornına sistemaǵa almastırilganda n-ólshewli vektor x ° = (x1 °, x2 °,.. ., xn °), sistema daǵı qatarlardıń hár biri haqıyqıy teńlikke aylanadı.

Eger sistemanıń keminde bir sheshimine iye bolsa jáne onıń sheshimi bos koefficiyentke tuwrı keletuǵın bolsa, ol jaǵdayda uyqas kelmeydi.

Sonı este tutıw kerek, Cramer usılı járdeminde sızıqlı algebraik teńlemeler sistemasın sheshiw ushın sistema matritsalari kvadratqa ıyelewi kerek, bul sistemada málim muǵdardaǵı belgisiz hám teńlemelerdi ańlatadı.

Sonday etip, Cramer usılın qóllaw ushın hesh bolmaǵanda sızıqlı algebraik teńlemeler sistemalarınıń matritsasi hám qanday jazıp alınǵanlıǵın biliw kerek. hám ekinshiden, matritsaning determinanti dep atalǵan zattı túsiniw jáne onı esaplaw qábiletlerin biliw.

Sizde bul maǵlıwmatqa egamiz. Ájayıp! Keyinirek Kramer usılın belgileytuǵın formulalardı eslep qalıwıńız kerek. Yadtı ápiwayılastırıw ushın biz tómendegi belginen paydalanamız :

Det sistem matritsasining tiykarǵı determinanti;

Deti sistemanıń tiykarǵı matritsasidan alınǵan matritsaning determinanti bolıp tabıladı, eger matritsaning i-ústinin ústinli vektor menen almastırsak, elementleri sızıqlı algebraik teńlemeler sistemalarınıń oń tárepleri bolsa ;

N - sistema daǵı belgisiz hám teńlemeler sanı.

Keyinirek n-ólshewli vektordıń i-bólegin xi (i = 1,... n) esaplaw ushın Kramer qaǵıydası formada jazılıwı múmkin

Xi = deti / Det, (2).

Det, álbette, nolge teń emes.

Sistemanıń maslasıwshılıǵı sistemanıń tiykarǵı determinantining nolge teń bolıwın támiyinleydi. Keri jaǵdayda, kvadrat teńleme (xi) keskin unamlı bolsa, kvadrat matritsali SLAE turaqlı bolmaydı. Ásirese, deti dıń keminde birewi noldan ayrıqsha bolsa, bul júz bolıwı múmkin.

1-mısal. Kramerning formulaların paydalanıp, LUOnıń úsh ólshewli sistemasın sheshiń.

X1 + 2 x 2 + 4 x 3 = 31,
5 x1 + x2 + 2 x3 = 29,
3 x1 - x2 + x3 = 10.

Sheshimińiz. Sistema sızıǵınıń matritsasini qatar boyınsha jazamız, bul erda matrining I-qatarı bolıp tabıladı.

A1 = (1 2 4), A2 = (5 1 2), A3 = (3 -1 1 1).
Erkin koefficiyentlerdiń ústini b = (31 29 10 ).

Det sistemasınıń tiykarǵı determinanti esaplanadı

A22 A21 a12 = 1 - 20 + 12 - 12 + 2 - 10 = -27.

Det1 ni esaplaw ushın biz a11 = b1, a21 = b2, a31 = b3 ornın basamız. Keyin

Det1 = b1 a22 a33 + a12 a23 b3 + a31 b2 a32 - a13 a22 b3 - b1 a32 a23 - a33 b2 a12 =... = -81.

Tap sonday, det2 ni esaplaw ushın, biz det3 - a13 = b1, a23 = b2, a33 = b3 ni esaplaw ushın, a12 = b1, a22 = b2, a32 = b3 hám soǵan uyqas túrde ózgeriwden paydalanamız.

Keyin det2 = -108 hám det3 = -135 ni tekseriwińiz múmkin.
Kramerning formulalarına kóre x1 = -81 / (-27) = 3, x2 = -108 / (-27) = 4, x3 = -135 / (-27) = 5 ni tabamız.

Juwap : x ° = (3, 4, 5).

Bul qaǵıydanı qóllaw shártlerine tıykarlanıp, Cramerning lineer teńleme sistemaların sheshiw usılı tikkeley bolmaǵan isletiliwi múmkin, mısalı, sistemanı birpara parametrler koefficiyentine qaray sheshiliwi múmkin bolǵan sheshimlerdi izertlew ushın.

ad
2-mısal. K parametriniń qaysı bahaları ushın kx-y-4| +| x + ky + 4| <= 0 teńsizlikke anıq bir sheshim bar ekenin anıqlań.

Sheshimińiz.
Bul teńsizlik, funkciya modulınıń tariypi tiykarında, hár eki sóz dizbegiler bir waqtıniń ózinde nolge teń bolǵanda da qandirilishi múmkin. Sol sebepli, bul mashqala algebraik teńlemelerdi linear sistemasınıń sheshimin tabıw ushın pasayadi

Kx - y = 4,

X + ky = -4.

Bul sistemanıń sheshimi onıń tiykarǵı sheshiwshi ańlatpası esaplanadı

Det = k ^ {2} + 1 nolge teń emes. Shubhasız, bul shárt k parametriniń barlıq haqıyqıy bahaları ushın qandiriladi.

Juwap : k parametriniń barlıq haqıyqıy bahaları ushın.

Bunday máselelerge matematika, fizika yamasa ximiya salasındaǵı kóplegen ámeliy máseleler de azayıwı múmkin.