Кривых н не содержит особых

26. Вычеты. Это звучит парадоксально, но наиболее интересными при изучении голоморфных функций яв­ляются точки, в которых функции перестают быть голоморфными — их особые точки. В дальнейшем мы будем иметь много фактов, убеждающих в том, что в особых точках и главных частях лорановских разложений в их окрестностях содержится основная информация о голо­морфных функциях ¹).
Мы проиллюстрируем это утверждение задачей о вычислении интегралов от голоморфных функций. Пусть функ­ция голоморфна в области всюду, за исключением изоли­рованного и, следовательно, не более чем счетного множества особых точек. Пусть область и граница состоит из конечного числа непрерывных
кривых н не содержит особых
точек; особые точки, попавшие
в , мы обозначим (их конечное число). Построим окружности

(1)
столь малого радиуса , что круги , ими ограниченные, не пересекаются друг с другом и содержатся в .
Пусть ориентированы против часовой стрелки (рис. 40).Обозначим область через ; функция голоморфна в , следовательно, по интегральной теореме Коши для многосвязных областей
(1)

г) Это утверждение допускает физическую интерпретацию. Если трактовать гололгорфную функцию как комплексный потенциал век­торного поля, скажем поля скоростей течения жидкости (см. п. 7), то особые точки будут интерпретироваться как источники, стоки, вихри в другие элементы, определяющие это поле. Об этом см. М. А. Лаврентьев и Б. В. Ш а б а т, цит. на стр. 44.
Но ориентированная граница , состоит из да и ориентированных отрицательно окружностей
и по свойствам интегралов мы получаем
(2)
Таким образом, вычисление интеграла от голоморфной функции по границе области сводится к вычислению ее интегралов по сколь угодно малым окружностям с цент­рами в особых точках функции.
О п р е д е л е н и е 1. Интеграл от функции по доста­точно малой окружности с центром в изолированной особой точке этой функции, деленный на , называется вычетом f в точке а и обозначается символом
. (3)
По теореме о неизменности интеграла при гомотопной деформации контура вычет не зависит от величины (при достаточно малых) и определяется локальным пове­дением в ее особой точке.
доказанное выше соотношение (2) выражает так назы­ваемую теорему Коши о вычетах.
Т е о р е м а 1. Пусть функция голоморфна в области всюду, за исключением изолированного множества особых точек, и область G С D, п ее граница дС не содержит особых точек; тогда
f dz = 2лг Е res f , (4)
дС (G) °v
где сумма распространяется на все особые точки ау функ­ции f, принадлежащие G.
Эта теорема имеет большое принципиальное значение, ибо она сводит вычисление глобальной величины, какой является интеграл от голоморфной функции по границе области, к вычислению величин локальных — вычетов функции в ее особых точках.
Как мы сейчас увидим, вычеты функции в ее особых точках полностью определяются главными частями лора-
новских разложений в окрестностях этих точек. Тем самым

146 своГIствА голомоатны х тинкцнп игл. п

где (р и _i голоморфны в а, причем гр (а) _О 0 и _ф (а) = 0,
будет установлено, что в задаче о вычислении интегралов от голоморфной функции достаточно иметь информацию лишь о6 ее особых точках и главных частях в них.
Теорема 2. Вычет функции f в изолированной особой точке а е С равен коэффициенту при минус первой сте­пени z - а в ее лораковском разложении в окрестности а:
(5)
в В проколотой окрестности точки а функция f пред-
ставляется рядом Лорана
а,
[(г) = Е с (г - а)п,
п=-оо
причем на окружности у, _ {I г - а Т = r} при достаточно
малых r этот ряд сходится равномерно. Интегрируя ряд почленно вдоль у, и пользуясь ортогональностью степе­ней (п. 15), мы найдем
f дг = с_1. 2й.
У,
Вспоминая определение вычета, получим (5) ► Следствие. В устранимой точке п С вычет функ­ции равен нулю.
Приведем формулы для вычисления вычета функции в полюсе. Пусть сначала а - полюс первого порядка. Лорановское разложение функции в его окрестности имеет вид
бо
f (г) = г-а + сп (г - а)п
п - О
Отсюда сразу получается формула для вычисления вычета в полюсе первого порядка:
c-1=1im(г-а)f(г). (6)
г -. а
Особенно удобна для вычислений небольшая модифи­кация этой формулы. Пусть в окрестности точки а
f(г)=ср(г),
(г)(г)