Кривых н не содержит особых

§ 7) ряды лорйНА 1г ОСОБЫЕ точки 147
ф' (а) Ф 0 (отсюда следует, что а - полюс первого порядка функции f). Тогда по формуле (6)
с_1.i1ги(г-а -I1т
z-а аР (г) - (а)
2-а
т. е.
р (а)
С-1- (6')
(а)
Пусть теперь f имеет в точке а полюс п-го порядка; тогда в проколотой окрестности а
+ f (z) = (z С р),д Т' ... + ze- а + С1 (z - а)4.
k=0
Умножим обе части этого разложения на (z-а)" для
устранения отрицательных степеней в правой части, затем
продифференцируем п - 1 раз (чтобы выделить справа с_1)
и перейдем к пределу при z->а. Мы получим формулу
для вычисления вычета в полюсе п-го порядка:
с-1 = (r: 1 i)~ Zim dz,: {(х -а)" f (х)}. (7)
Для вычисления вычетов в существенно особых точках аналогичных формул не существует, и надо находить главные части лорановского разложения.
Несколько слов о вычете в бесконечности. Определение 2. Пусть функция f имеет оо своей изолированной особой точкой; ее вычетом в бесконечности
называется величина

(⁸)
1
гезГ= 2пг f дх,
ид
где уА - окружность {; z 1 = R} достаточно большого ради­уса, проходимая п о часовой стрелке.
Ориентация ‚' выбрана так, чтобы во время ее обхода



п = -
окрестность бесконечной точки {R < 1г1 < оо} оставалась слева. Напишем разложение Лорана функции f в этой окрестности:



148 своиствА голомортных функции [гл. п
Интегрируя его почленно вдоль уА и пользуясь ортого­нальностью степеней, мы найдем
resf=—с_1. (9)
Члены с отрицательными степенями входят в правиль­ную, а не в главную часть лорановского разложения в бес­конечности. Поэтому, в отличие от конечных точек, вычет
бесконечности может быть не равным нулю и в том случае, когда г = со является правильной точкой функции.
Приведем еще простую теорему о полной сумм е вычетов.
Теорема 3. Пусть функция f голоморфна всюду
плоскости С, за исключением конечного числа точек ау
(v = 1, ... , п); тогда сумма ее вычетов во всех конечных особых точках и вычета в бесконечности равна нулю:
теа!+гез!=0. (10)
v=1 °v О0
в Построили окружность уд = {; г Т = R} столь большого радиуса, что она содержит внутри все конечные особые
точки а; пусть уд ориентирована против часовой стрелки.
По теореме Коши о вычетах
т f дг = res f,
у_1 v
по теореме Коши из п. 17 величина в левой части ра­венства не меняется при дальнейшем увеличении R; сле­довательно, эта величина равна вычету [ в бесконечности, взятому со знаком минус (учтите направление обхода). Таким образом, последнее равенство равносильно (10) ►
Пример. При вычислении интеграла
4г
(г8 + l )2
1г,=2
н
е
т
н
у
ж
д
ы
в
ы
ч
и
с
л
я
т
ь
в
ы
ч
е
т
ы
п
о
д
и
н
т
е
г
р
а
л
ь
н
о
й
ф
у
н
к
ц
и
и
в
о
в
с
е
х
е
е
восьлни полюсах второго порядка, лежащих внутри окружности
г I=2. К этой функции применима теорема о полной сумме выче­тов, по которой
,со
I гаеs(гут1)'+гш (ге'-1)2-0. v=t v

3т1 ряды лоР.анл п осовыи точки 149

Н о функция имеет в бесконелгюсти нуль шестнадцатого порядка. поэтому ее лорановское разложение в окрестности г= содержит лишь отрицательные степени, начиная с г-18. Поэтому ее вычет в бес- конечности равен 0, следовательно, равна нулю н сумма вычетов в конечных особых точках, т. е. 1=0.
В заключение приведем пример применения теоремы Коши о вычетах к вычислению несобственных интегралов от функций действительного переменного. Вычислим интег­рал вдоль действительной оси
оэ
gtг x
W(1)_ ` 1 1 дх,
где 1 —действительное число (он абсолютно сходится, ибо


мажорируется сходящимся инте-
гралом от функции
1хв
Методика применения вычетов такова. Продолжаем подюнтеграль­ную функцию в комплексную плоскость
‚В:
1 +хв
затем выбираем замкнутый кон-
тур так, чтобы он содержал от- Рис. 41.
резок [-1?, R] прямой интегри-
рования и какую-либо дугу, соединяющую концы отрезка.
К этому замкнутому контуру применяется теорема Коши
о вычетах, а затем делается предельный переход при
-­оо. Если при этом удается вычислить предел инте­грала по дополнительной дуге, то задача будет решена.