Краевые задачи для уравнений четвёртого порядка составного типа

Краевые задачи для уравнений четвёртого
порядка составного типа.
В односвязной области ограниченной единичным кругом . рассмотрим уравнение
(1.1)
Через Г₁ обозначим, ту часть Г которая получается при движении от точки N₁ (0,-1) к точке N₂ (0,1) в положительном направлении (т.е. против часовой стрелки), а через .
Задача. Найти решение уравнения (1.1)
удовлетворяющее краевым условиям Дирихле
(1.2)
Здесь и – заданные функции n- внешняя нормаль к Г.

1. 
   Единственность решения задачи.
   

Теорема. Однородная задача не имеет нетривиальных решений.
Доказательство. Для доказательство теоремы достаточно показать , что уравнение (1.1) с однородными условиями
(1.3)
Не имеет нетривиальных решений.
Положим
Пусть есть решение (1.1), (1.3). тогда умножая уравнение (1.1) на функцию и интегрируя по областям , получим
(1.4)
Нетрудно проверить , что в , а следовательно и в имеют место следующие соотношения:



Где - оператора Лапласа
Применяя формулу Гаусса-Остоградского:
(1.5)
из равенства (1.4), учитывая условия (1.3), а также (1.5) при имеем






(1.6)
Здесь
(1.7)
Известно, что на Г выполняется равенство:



Так как и следовательно,
,
Отсюда учитывая второе условие (1.3) получим
на Г.
Поэтому из соотношения (1.6) находим, что
(1.9)
Если то отсюда следует, что в D.
Так как , то в .
Учитывая это и (1.7), (1.8) имеем
(1.10)
Легко показать, что решением, уравнения (1.10) удовлетворяющим условию

является только функция в области D, если то в D.
Теорема доказана.