Нахождения значений энергии в связанном состояние системы двух бозонов

НАХОЖДЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ ЭНЕРГИИ В СВЯЗАННОМ СОСТОЯНИЕ
СИСТЕМЫ ДВУХ БОЗОНОВ
1Абдуллаев Ж.И., 2Шотемиров Й.С., 3Эргашова Ш.Х.
1 Самаркандский государственный университет, Самарканд, Узбекистан,
e-mail: [e-mail]
2 Навоиский государственный педагогический институт, Навои, Узбекистан,
e-mail: [e-mail]
3 Навоиский государственный педагогический институт, Навои, Узбекистан,
e-mail: [e-mail]

Уравнение Шредингера – это основное уравнение квантовой теории. Исследование этого уравнения играет чрезвычайно важную роль в современной математической физике.

Мы изучаем собственное значение и собственный элемент оператора Шредингера H(k)
соответствующий оператор энергии H системы двух бозонов, т.е. элементов, удовлетворяющих уравнению Шредингера
H(k)f = λf. (1)
Каждый такой элемент f; отличный от нулевого, называется собственным элементом, а соответствующее значение λ- собственным значением оператора H(k): При этом собственные элементы оператора H(k) трактуются как связанные состояния системы (оператора H), а собственные значения λ- как энергии связанного состояния. Решения f
уравнения (1), отвечающие какому-нибудь фиксированному собственному значению λ;
образуют линейное множество, в силу непрерывности оператора H(k); это множество замкнуто и, следовательно, представляет собой некоторое подпространство Ker(H(k) -λI);
так называемое собственное подпространство, соответствующее собственному значению
λ: Кратность собственного значения λ определяется как размерность подпространства
dim Ker(H(k) - λI) = n; в частности, собственное значение называется простым, если
n = 1 и кратным при n ≥ 2:
В работе рассматривается оператор энергии системы двух бозонов на трехмерной решетке Z³: Соответствующий оператор Шредингера H1+(2λ; π; π) (H1+(π; 2λ; π) ) этой системы имеет единственное связанное состояние f1 (f1+) с энергием z1(λ) (z1+(λ)) в инвариантном подпространстве L( T3): Связанное состояние f1 и его энергии z1(λ) вычисляются
точноСвязанные состояния оператора энергии H системы двух бозонов на двумерной решетке
изучались в работе [1], а системы двух фермионов на двумерной решетке в работе [2].
Инвариантные подпространства оператора Шредингера H(k) системы двух произвольных
частиц исследовались в [3].
Мы воспользуем следующими обозначениями: Z- множество целых чисел, Z3 = Z ×
Z×Z- декартово степень, ‘2(Z3)- квадратично суммируемые функции, определенных на
Z3;
‘2((Z3)2) = ‘2(Z3) ⊗ ‘2(Z3);
‘2((Z3)2) ⊃ ‘s 2((Z3)2) = ff 2 ‘2((Z3)2) : f(x1; x2) = f(x2; x1)g:
Свободному оператору энергии H^0 системы двух бозонов на трехмерной решетки Z3
обычно соответствует ограниченный самосопряженный оператор, действующий в гильбертовом пространстве ‘s 2((Z3)2) по формуле
H^0 = - 1
2m
∆1 - 1
2m
∆2:
Здесь m > 0 означает массу бозонa, который в дальнейшем мы считаем равным единице,
∆1 = ∆ ⊗ I и ∆2 = I ⊗ ∆; где I- единичный оператор, решетчатый Лапласиан ∆ есть
разностный оператор, описывающий перенос частицы с узла на соседний узел, т.е.
(∆ ^)(x) =
3X j
=1
[ ^(x + ej) + ^(x - ej) - 2 ^(x)]; ^ 2 ‘2(Z3);
где e1 = (1; 0; 0); e2 = (0; 1; 0); e3 = (0; 0; 1)- единичные орты в Z3: Полный гамильтониан
H^ действует в гильбертовом пространстве ‘s 2(Z3 × Z3) и состоит из суммы свободного
гамильтониана H^0 и потенциала взаимодействия V^ двух частиц
H^ = H^0 + V ; ^
где
(V^ ^)(x; y) = ^ v(x - y) ^(x; y); ^ 2 ‘s 2(Z3 × Z3):
Относительно потенциала v^ предполагается, что (jxj = jx1j+jx2j+jx3j; x = (x1; x2; x3) 2
Z3)
v^(x) = (v0¯;(jxj); если если jjx xj ≤ j ≥ 2 3; (2)
Дополнительно мы предположим, что v¯(2) > 0: При условии (2) гамильтониан H^ является
ограниченным и самосопряженным оператором в пространстве ‘s 2(Z3 × Z3):
Переход в импульсное представление осуществляется с помощью преобразования Фурье
F : ‘s
2(Z3 × Z3) ! Ls 2(T3 × T3):
Гамильтониан H = FHF ^ -1 = H0-V в импульсном представлении коммутирует с группой
унитарных операторов Us; s 2 Z3 :
(Usf)(k1; k2) = e-i(k1+k2;s)f(k1; k2); f 2 Ls 2(T3 × T3):
Отсюда следует, что существуют разложения пространства Ls 2(T3×T3) и операторов Us; H
в прямые интегралы [4]:
Ls
2(T3 × T3) = ZT3 ⊕L2(Fk) dk; Us = ZT3 ⊕Us(k) dk; H = ZT3 ⊕H~ (k) dk:

Здесь
F(k) = f(k1; k2) 2 T3 × T3 : k1 + k2 = kg; k 2 T3;

Us(k) - оператор умножения на функцию exp(-i(s; k)) в пространстве L2(Fk): Слой H~ (k)
оператора H также действует в L2(Fk) и унитарно эквивалентен оператору H(k) = H0(k)+
V; называемым оператором Шредингера на решетки, который действует в гильбеpтовом
пpостpанстве Le 2(T3) = ff 2 L2(T3) : f(-p) = f(p)g по формуле:
(H(k)f)(p) = "k(p)f(p) + 1
(2π)3=2 ZT3 v(p - s)f(s) ds:
Невозмущенный оператор H0(k) есть оператор умножения на функцию
"k(p) = "(k
2
+ p) + "(k
2
- p) = 6 - 2 cos k1
2
cos p1 - 2 cos
k2
2
cos p2 - 2 cos
k3
2
cos p3:
Оператор возмущения V является интегральным оператором в Le 2(T3) :
(V f)(p) = 1
(2π)32 ZT3 v(p - s)f(s)ds:
Здесь v Фурье образ потенциала v; ^ т. е.
v(p) = 1
(2π)3 2 [¯ v(0) + 2¯ v(1)
3X j
=1
cos pj + 2¯ v(2)
3X j
=1
cos 2pj + 4¯ v(2) X
1≤i≤3
cos pi cos pj]: (3)
Нетрудно проверить самосопряженность и ограниченность оператора Шредингера H(k):
Потенциал v^ является сферически симметричным, поэтому его Фурье образ v(p1; p2; p3) =
(Fv^)(p1; p2; p3) четны (см. (3)) по всем аргументам p1; p2; p3 2 [-π; π]: Функция "k также
обладает этим свойством. Поэтому
L+++
2 (T3) = ff 2 Le 2(T3) : f(p1; p2; p3) = f(-p1; p2; p3) = f(p1; -p2; p3) = f(p1; p2; -p3)g
подпространство является инвариантным относительно операторов V и H0(k): Пространство четных функций Le 2(T3) можно представить в виде прямой суммы
Le
2(T3) = L+++ 2 (T3) ⊕ L+ 2 --(T3) ⊕ L- 2 +-(T3) ⊕ L-- 2 +(T3):
Здесь подпространство L+++ 2 (T3) определено выше, подпространство L+ 2 --(T3) состоит
из элементов f 2 Le 2(T3) таких, что они нечетны по аргументам p2; p3 и четны по аргументу
p1: L- 2 +-(T3) подпространство функций, нечетны по p1; p3 и четный по аргументу p2:
L--+
2 (T3)- подпространство функций нечетны по p1; p2 и четный по аргументу p3:
Лемма 1. Подпространства L+ 2 --(T3); L- 2 +-(T3); L-- 2 +(T3) являются инвариантными относительно оператора H(k):
Обозначим через Hα+(k); α = 1; 2; 3 сужение оператора H(k) в инвариантном подпространстве L+ α; где L+ 1 = L+ 2 --(T3); L+ 2 = L- 2 +-(T3); L+ 3 = L-- 2 +(T3); т.е. Hα+(k) =
H(k)jL+ α; α = 1; 2; 3:
Теперь привидем, как действует сужение Vα+ оператора V в инвариантном подпространстве L+
α; α = 1; 2; 3 :
(Vα+f)(p) = v¯(2)
2π3 ZT3 sin pβ sin sβ sin pγ sin sγf(s)ds; fα; β; γg = f1; 2; 3g:

Теорема 1. Оператор H1+(2λ; π; π); λ 2 [-π
2;
π 2
] имеет единственное собственное
значение z1(λ) = 6 + pv¯2(2) + 4 cos2 λ и ему соответствует собственная функция
f1(p) = C sin p2 sin p3
6 - 2 cos λ cos p1 - z1(λ) 2 L+ 2 --(T3):
Теорема 2. a) Если v¯(2) < cos λ; тогда оператор H1+(π; 2λ; π) не имеет собственных
значений вне существенного спектра [m(β); M(β)]; где m(λ) = 6 - 2 cos λ; M(λ) = 6 +
2 cos λ:
b) Если v¯(2) = cos λ; тогда правый край M(λ) = 6 + 2 cos λ существенного спектра
оператора H1+(π; 2λ; π) является резонансом.
c) Если v¯(2) > cos λ; тогда оператор H1+(π; 2λ; π) имеет единственное простое собственное значение
z+
1 (λ) = 6 + ¯ v(2) + 1
v¯(2) cos2 λ;
лежащее правее существенного спектра и ему соответствует собственная функция
f1+(p) = C sin p2 sin p3
6 - 2 cos λ cos p2 - z1+(λ) 2 L+ 2 --(T3):
d) Оператор H1+(π; 2λ; π) не имеет вложенных собственных значений в интервале
(m(β); M(β)):
Операторы H1+(π; 2λ; π) и H1+(π; π; 2λ) унитарно эквивалентны. Поэтому аналогичное
утверждение имеет место для оператора H1+(π; π; 2λ): При этом собственные значения
операторов H1+(π; 2λ; π) и H1+(π; π; 2λ) совпадают, но собственные функции отличаются
с заменой переменной p2 и p3:
Литература
1. Абдуллаев Ж.И., Кулиев К.Д. Связанные состояния системы двух бозонов на двумерной решетке. Теоретическая и математическая физика, Россия, Москва, Т. 186, N 2. 2016, 272-292.
2. Абдуллаев Ж.И., Кулиев К.Д., Мамиров Б.У. Бесконечностъ числа связанных состояний системы двух
фермионов на двумерной решетке. Узбекский Математический Журнал, Узбекистан, Ташкент, N 4. 2016,
3-16.
3. Абдуллаев Ж.И., Файзиев М.Ш., Шотемиров Й.С. Инвариантные подпространства двухчастичного оператора Шредингера на решетке. Узбекский Математический Журнал, Узбекистан, Ташкент, N 3. 2009, 3-10.
4. Рид.M., Симон.Б. Методы современной математической физики, Москва, Мир, Т.4. Анализ операторов,
1982.