Рассмотрим в области уравнение

§1.5. Численное моделирование процессов нелинейной теплопроводности

При численном решении задачи (1.3.1), (1.3.2), уравнение (1.3.1) аппроксимировалось со вторым порядком точности по пространственным координатам и с первым порядком по t. Сконструирован итерационный процесс, во внутренних шагах итерации значения узлов вычисляются методом прогонки. Хорошо известно, что итерационные методы требуют наличия хорошего начального приближения, которое быстро сходится к искомому решению и сохраняет качественные свойства изучаемых нелинейных процессов. Это является основной трудностью численного решения задачи. Эта трудность, в зависимости от значения числовых параметров уравнения преодолевается путем удачного выбора начальных приближений, в качестве которого при вычислениях брались выше установленные асимптотические формулы. На основе выше приведенных результатов были произведены численые расчеты. Ниже приведем численные схемы и некоторые результаты численных экспериментов.

Рассмотрим в области уравнение
(1.5.1)
со следующими начальными и краевыми условиями
, , , (1.5.2)
, , Г – граница (1.5.3)
Для удобства перепишем уравнение (1.5.1) следующим образом:

где , .
Рассмотрим двумерный случай ( ).Сначала в построим равномерную сетку по с шагами и :
,
и временную сетку , .
_{Задачу (1}.5.1)-(1.5.3) на сетке аппроксимируем по неявной схеме переменных направлений. Идея построения этой схемы заключается в следующем: основные значения искомой сеточной функции берутся из промежуточных значений , где , , -номер слоя, которое можно рассматривать как значение при
Тогда используемая схема имеет вид
(1.5.4)

, ,
Здесь для вычисления разностных коэффициентов теплопроводности и используется одна из следующих формул
а)
, (1.5.5)
б)
(1.5.6)
Используя формулу (1.5.5) имеем
, .
Значения концевых ординат на концах отрезка можно получить по формуле Милна:
, ,
которые считаются более точными.
По этой схеме вычисление значений функции в слое осуществляется в два этапа:

1. 
   Определяются промежуточные значения .
   
2. 
   Используя найденные значения , находятся .
   

Из (1.5.4) видно, что первая схема неявна по направлению и явна по , а вторая схема, наоборот, явна по и неявна по .
Начальные и краевые условия перепишем следующим образом
(1.5.7)
где .
Перепишем (1.5.4) в виде
(1.5.8)
Введем обозначения
.
Для решения по выше полученной схеме, нелинейных уравнений применяется итерационный метод.
(1.5.9)
(1.5.10)
Итерационный процесс выполняется, используя, аппроксимацию Ньютона:

В качестве начальной итерации в (1.5.9), (1.5.10) для и берется из предыдущего шага по времени: , . При счете по итерационной схеме задается точность итерации и требуется выполнение условия
,
Введем обозначения в (1.5.9) и (1.5.10)


Тогда разностные уравнения можно записать в виде
(1.5.11)
(1.5.12)

Для численного решения задачи (1.5.11) и (1.5.12) применяется метод прогонки. Система уравнений (1.5.11) решается по строке и определяется во всех узлах сетки . Затем решается система уравнений (1.5.12) вдоль столбцов определяя во всех узлах сетки .
По выше построенным численным схемам разработан программный комплекс на языке C#. Результаты вычислений представлены в визуальном виде. При визуализации решения в двумерном случае используется графической модуль пакета MathCad 11. Шаг по времени уменьшался автоматически, что очень важно при расчетах решений, развивающихся в режиме с обострением. Результаты численных экспериментов показывают быструю сходимость итерационного процесса за счет удачного выбора предложенного нами начального приближения. Ниже приводятся некоторые результаты численных экспериментов для различных значений числовых параметров.
В качестве начального приближения брались (1.3.3).