Kudaybergenov k. K. Funksional analizdan misol va masalalar

§ 4.1. Chiziqli fazolar va chiziqli funksionallar
107
∀ α, β ∈ K va ∀ x, y ∈ E uchun:
5. α(βx) = (αβx);
6. α(x + y) = αx + αy;
7. (α + β)x = αx + βx;
8. 1 · x = x.
Ushbu shartlarning barchasini qanoatlantruvchi E to‘plami K may-
don ustida chiziqli yoki vektor fazo deb ataladi. Chiziqli fazo element-
larini vektorlar yoki nuqtalar deb ataymiz. Agar K = R (R barcha
haqiqiy sonlar maydoni) yoki K = C (C barcha kompleks sonlar may-
doni) bo‘lsa, u holda E, mos ravishda, haqiqiy yoki kompleks chiziqli
fazo deb ataladi.
3. R to‘plami sonlarni qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan
chiziqli fazo bo‘ladi.
4. R
n
fazoda qo‘shish va songa ko‘paytirish amallarini
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) + (y
1
, y
2
, . . . , y
n
) = (x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
, . . . , x
n
+ y
n
),
α(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) = (αx
1
, αx
2
, . . . , αx
n
)
ko‘rinishda aniqlasak, bu to‘plam chiziqli fazo bo‘ladi. Bu fazo n-
o‘lchamli arifmetik fazo deyiladi.
Ta’rif. X va Y lar K ustida chiziqli fazolar bo‘lsin. O‘zaro bir
qiymatli Φ : X → Y akslantirish
Φ(x + y) = Φ(x) + Φ(y), x, y ∈ X;
Φ(αx) = αΦ(x), x, y ∈ X, α ∈ K
shartlarni qanoatlantirsa, u holda X va Y fazolar o‘zaro izomorf fazolar
deyiladi.
Misol uchun, n o‘lchamli R
n
haqiqiy arifmetik fazosi bilan darajalari
n−1 dan katta bo‘lmagan barcha haqiqiy koeffitsientli ko‘phadlar fazosi
izomorf fazolar bo‘ladi, bunda izomorfizm
(a
1
, a
2
, . . . , a
n
) 7→ a
1
+ a
2
t + . . . + a
n
t
n−1
qoida orqali o‘rnatilishi mumkin.
L chiziqli fazoning x
1
, x
2
, . . . , x
n
elementlari berilganda, kamida bit-
tasi noldan farqli bo‘lgan α
1
, α
2
, . . . , α
n
sonlari mavjud bo‘lib,
α
1
x
1
+ α
2
x
2
+ . . . + α
n
x
n
= 0
tengligi o‘rinli bo‘lsa, u holda x
1
, x
2
, . . . , x
n
lar chiziqli bog‘liq elementlar
deyiladi. Agar α
1
x
1
+α
2
x
2
+. . .+α
n
x
n
= 0 tengligidan α
1
= α
2
= . . . =

108
IV. Normalangan fazolar
α
n
= 0 tengligi kelib chiqsa, u holda x
1
, , x
2
, . . . , x
n
elementlar chiziqli
erkli elementlar deb ataladi.
L chiziqli fazo elementlarining x, y, . . . cheksiz sistemasining ixtiyoriy
chekli qism sistemasi chiziqli erkli bo‘lsa, u holda berilgan sistema chiz-
iqli erkli deb ataladi.
Agar L fazosida n sondagi chiziqli erkli elementlar topilib, n + 1
sondagi ixtiyoriy elementlari chiziqli bog‘liq bo‘lsa, u holda L fazosi
n-o‘lchamli deyiladi. Agar L da ixtiyoriy sondagi chiziqli erkli element-
larni topish mumkin bo‘lsa, u holda L cheksiz o‘lchamli fazo deb ataladi.
n-o‘lchamli L fazoning n sondagi ixtiyoriy chiziqli erkli elementlarining
sistemasini, bu fazoning bazisi deb ataladi.
L
0
to‘plam L chiziqli fazoning qism to‘plami bo‘lsin. Agar ixtiyoriy
x, y ∈ L
0
va ixtiyoriy α, β ∈ K sonlar uchun αx + βy ∈ L
0
bo‘lsa, u
holda L
0
to‘plam L ning qism fazosi deb ataladi.
L chiziqli fazo bo‘lib, θ uning nol elementi bo‘lsin. Faqat nol ele-
mentdan iborat {θ} to‘plam L ning eng kichik qism fazosi bo‘ladi. Bu
fazoni nol qism fazo deb ataymiz. Shu bilan birga, L ni ham o‘zining
qism fazosi sifatida qarash mumkin. Bu ikki qism fazolar L ning xosmas
qism fazolari deyiladi, boshqa qism fazolar xos deb ataladi.
Qism fazolarning xohlagan sistemasining kesishmasi qism fazo
bo‘ladi. Haqiqatan, {A
γ
: γ ∈ I} (I ixtiyoriy to‘plam) sistema L
chiziqli fazosining qism fazolari sistemasi bo‘lsin. Ixtyoriy x, y ∈
T
γ
A
γ
elementlar va ixtiyoriy α, β sonlar uchun αx+βy ∈ A
γ
, ∀ γ ∈ I muno-
sabati o‘rinli. U holda αx + βy ∈
T
γ
A
γ
munosabati ham o‘rinli, ya’ni
T
γ
A
γ
to‘plam qism fazo bo‘ladi.
L chiziqli fazoda biror bo‘sh bo‘lmagan S to‘plam berilgan bo‘lsin.
S to‘plamni o‘z ichiga olgan eng kichik qism fazo, S to‘plamning chi-
ziqli qobig‘i deyiladi va u odatda L (S) ko‘rinishda belgilanadi. L (S)
fazosi S ni o‘z ichiga oluvchi barcha qism fazolarning kesishmasidan
iborat bo‘ladi. Boshqacha aytganda, L (S) fazosi quyidagi ko‘rinishdagi
elementlardan iborat:
x =
n
X
i=1
α
i
a
i
,
bunda α
i
∈ K, a
i
∈ S, 1 ≤ i ≤ n, n ∈ N.
5. L chiziqli fazo bo‘lib, x uning noldan farqli elementi bo‘lsin.
{λx : λ ∈ K} elementlar to‘plami bir o‘lchamli qism fazo bo‘ladi.
Agar L ning o‘lchami birdan katta bo‘lsa, u holda {λx : λ ∈ K} 6= L.
6. [a, b] segmentda aniqlangan barcha ko‘phadlar to‘plamini P [a, b]

§ 4.1. Chiziqli fazolar va chiziqli funksionallar
109
ko‘rinishda belgilasak, u holda bu to‘plam C[a, b] ning qism fazosi
bo‘ladi.
7. `
2
, c
0
, c, m, R
∞
to‘plamlarning barchasi chiziqli fazo bo‘lib, har
biri o‘zidan keyingisining qism fazosi bo‘ladi.
L chiziqli fazo bo‘lib, L
0
uning biror qism fazosi bo‘lsin.
Agar
x, y ∈ L elmentlarning ayirmasi L
0
fazosiga tegishli bo‘lsa, u holda
bu elementlarni ekvivalent deb ataymiz. Ekvivalentlik munosabat ref-
leksiv, simmetrik va tranzitiv bo‘lgani uchun, u L ni o‘zaro kesishmay-
digan sinflarga ajratadi. Bunday sinflar to‘plami L ning L
0
bo‘yicha
faktor fazosi deb ataladi va L/L
0
ko‘rinishda belgilanadi. ξ va η sinflar
L/L
0
faktor fazoning elementlari, hamda x ∈ ξ va y ∈ η bo‘lsin. ξ va
η sinflarning yig‘indisi deb, x + y elementini o‘z ichiga oluvchi ν sinf-
ga aytiladi; ξ sinf va α son ko‘paytmasi deb, α x elementini o‘z ichiga
oluvchi sinfga aytamiz. Bu amallar natijasi x va y lar o‘rniga xohlagan
boshqa x
0
∈ ξ va y
0
∈ η elementlarni olganda ham o‘zgarmaydi. Shun-
day qilib, L/L
0
faktor fazosida qo‘shish va skalyar songa ko‘paytirish
amallari aniqlanadi. Bu amallar chiziqli fazo tarifidagi barcha shart-
larni qanoatlantiradi. Shu sababli, har bir L/L
0
faktor fazo chiziqli fazo
bo‘ladi.
Agar L chiziqli fazo n-o‘lchamli bo‘lib, uning L
0
qism fazosi k-
o‘lchamli bo‘lsa, u holda L/L
0
faktor fazosining o‘lchami n − k ga teng.
L chiziqli fazo bo‘lib, L
0
uning biror qism fazosi bo‘lsin. L/L
0
faktor
fazoning o‘lchami L
0
fazoning L fazodagi koo‘lchami deb ataladi.
Agar L
0
⊂ L fazo chekli koo‘lchamga ega bo‘lsa, u holda L da shun-
day x
1
, x
2
, . . . , x
n
elementlarni saylab olish mumkin bo‘lib, ixtiyoriy
x ∈ L elementni yagona usulda
x = α
1
x
1
+ α
2
x
2
+ . . . + α
n
x
n
+ y
ko‘rinishda yozish mumkin, bunda α
1
, α
2
, . . . , α
n
, ∈ K, y ∈ L
0
.
Haqiqatan, Aytaylik, L/L
0
faktor fazoning o‘lchami n ga teng bo‘lsin.
Bu faktor fazodan ξ
1
, ξ
2
, . . . , ξ
n
bazis olib, har bir ξ
k
sinfdan x
k
element
olamiz. x nuqta L ning ixtiyoriy elementi bo‘lib, bu elementni o‘z ichiga
oluvchi sinfni ξ orqali belgilaylik. U holda
ξ = α
1
ξ
1
+ α
2
ξ
2
+ . . . + α
n
ξ
n
.
x ∈ ξ bo‘lganligi sababli x − (α
1
, x
1
+ α
2
x
2
+ . . . + α
n
x
n
) ∈ L
0
. Unda L
0
ning shunday y elementi mavjud bo‘lib,
x − (α
1
x
1
+ α
2
x
2
+ . . . + α
n
x
n
) = y

110
IV. Normalangan fazolar
tengligi o‘rinli bo‘ladi. Natijada
x = α
1
x
1
+ α
2
x
2
+ . . . + α
n
x
n
+ y
tengligi kelib chiqadi. Bu yozuvning yagonaligi L
0
qism fazoning L/L
0
faktor fazosi uchun nol element bo‘lishidan kelib chiqadi.
L chiziqli fazoda aniqlangan g sonli funksiya funksional deb ataladi.
Agar barcha x, y ∈ L elementlar uchun g(x + y) = g(x) + g(y) tengligi
o‘rinli bo‘lsa, u holda g additiv deyiladi. Xohlagan α son va barcha
x ∈ L uchun g(αx) = αg(x) tengligi o‘rinli bo‘lsa, u holda g ni bir jinsli
deb ataymiz.
Kompleks chiziqli fazoda aniqlangan g funksonal xohlagan α son
uchun g(αx) = αg(x) tenglikni qanoatlantirsa, u holda qo‘shma bir
jinsli deb ataladi.
Additiv va bir jinsli funksionalni chiziqli deb ataladi. Boshqacha
aytganda, L chiziqli fazoda aniqlangan g(x) funksional xohlagan x, y ∈
L elementlar va α, β sonlar uchun g(αx+βy) = αg(x)+βg(y) tengligini
qanoatlantirsa, u holda chiziqli deb ataladi.
8. a = (a
1
, a
2
, . . . , a
n
) ∈ R
n
tayinlangan vektor bo‘lsa, u holda
f (x) =
n
X
i=1
a
i
x
i
ko‘rinishda aniqlangan akslantirish R
n
da chiziqli funksional bo‘ladi.
Haqiqatan, xohlagan
x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) y = (y
1
, y
2
, . . . , y
n
) ∈ R
n
elementlar va xohlagan α, β sonlar uchun
f (αx+βy) =
n
X
i=1
a
i
(αx
i
+ βy
i
) = α
n
X
i=1
a
i
, x
i
+β
n
X
i=1
a
i
, y
i
= αf (x)+βf (y).
9. C[a, b] fazosida chiziqli funksional sifatida
f (x) =
b
Z
a
x(t) dt
integralini qarash mumkin. Bu funksionalning chiziqli ekanligi integral-
ning xossalaridan kelib chiqadi.
10.
k tayinlangan natural son bo‘lsin.
`
2
har bir x =
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
, . . .) elementi uchun f
k
(x) = x
k
deb olsak, bu funksional
chiziqli bo‘ladi. Haqiqatan, xohlagan
x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
, . . .), y = (y
1
, y
2
, . . . , y
n
, . . .) ∈ `
2

§ 4.1. Chiziqli fazolar va chiziqli funksionallar
111
elementlar va xohlagan α, β sonlar uchun
f
k
(αx + βy) = αx
k
+ βy
k
= αf (x) + βf (y)
tengligi o‘rinli.
L chiziqli fazoning H xos qism fazosi uchun shunday x
0
∈ L element
topilib, L = L (H, x
0
) tengligi o‘rinli bo‘lsa, bunda L (H, x
0
) – H
to‘plam va x
0
elementning chiziqli qobig‘i, u holda H giperqism fazo
deb ataladi. L chiziqli fazodagi
x + H (x ∈ L, H − qism f azo)
ko‘rinishdagi to‘plamga gipertekislik deb ataymiz.
H = g
−1
(0) giperqism fazo g funksionalning yadrosi deb ataladi va
ker g ko‘rinishda belgilanadi.
L haqiqiy chiziqli fazoning biror L
0
qism fazosida f
0
chiziqli funk-
sionali berilgan bo‘lsin. Agar L fazosida aniqlangan f funksionali uchun
x ∈ L
0
bo‘lganda f (x) = f
0
(x) tengligi o‘rinli bo‘lsa, u holda f funk-
sionali f
0
funksionalning davomi deb ataladi.
L chiziqli fazosida aniqlangan p funksional berilgan bo‘lib, barcha
x, y ∈ L elementlar va barcha α ∈ [0, 1] sonlari uchun
p(αx + (1 − α)y) ≤ αp(x) + (1 − α)p(y)
tengsizligi o‘rinli bo‘lsa p funksionali qavariq deb ataladi. Agar xohla-
gan x ∈ L elementlar va barcha α > 0 sonlari uchun p(αx) = αp(x)
tengligi o‘rinli bo‘lsa, p funksional musbat bir jinsli deyiladi. Musbat
bir jinsli qavariq funksionalni bir jinsli qavariq deb ataymiz.
L chiziqli fazo, A ⊂ E qavariq to‘plam va x ∈ A bo‘lsin. Agar
x = 12(y + z), y, z ∈ A tengligidan, x = y = z kelib chiqsa, u holda x
nuqta A to‘plamning ekstremal nuqtasi deyiladi. A to‘plamning barcha
ekstremal nuqtalari to‘plami extA kabi belgilanadi va u to‘plamning
ekstremal chegarasi deyiladi. Masalan, [0, 1] kesma uchun ext[0, 1] =
{0, 1}.
Masalalar
4.1.1. Ixtiyoriy L chiziqli fazoning nol elementi yagona
ekanligini isbotlang.
Yechimi. L chiziqli fazoning ikkita θ
1
va θ
2
nol elementlari mavjud
bo‘lsin. U holda nol element ta’rifi va qo‘shish amalining kommuta-
tivligidan,
θ
1
= θ
1
+ θ
2
= θ
2
+ θ
1
= θ
2
.

112
IV. Normalangan fazolar
Demak, θ
1
= θ
2
, ya’ni nol elementi yagona bo‘ladi.
4.1.2.
Ixtiyoriy L chiziqli fazoda har bir elementga
qarama-qarshi element yagona ekanligini isbotlang.
Yechimi. Aytaylik, x
0
va x
00
elementlar x elementga qarama-qarshi
elementlar bo‘lsin. U holda
x
0
= x
0
+ 0 = x
0
+ (x + x
00
) = (x
0
+ x) + x
00
= 0 + x
00
= x
00
,
ya’ni x
0
= x
00
.
4.1.3. Agar L chiziqli fazoning noldan farqli x elementi
uchun λx = µx tengligi o‘rinli bo‘lsa, u holda λ va µ sonlari-
ning o‘zaro teng ekanligini isbotlang.
Yechimi. λx = µx tengligining ikki tomoniga −µx elementini
qo‘shsak (λ − µ)x = 0 tengligi kelib chiqadi. Agar λ 6= µ bo‘lsa, u
holda chiziqli fazo ta’rifida 5-aksiomadan x = (λ − µ)
−1
[(λ − µ)x] = 0
tengligiga ega bo‘lamiz. Bu ziddiyatdan λ = µ tengligi kelib chiqadi.
4.1.4. Agar L chiziqli fazoning x, y elementlari va noldan
farqli λ soni uchun λx = λy tengligi o‘rinli bo‘lsa, u holda x
va y elementlarning o‘zaro teng bo‘lishini isbotlang.
Yechimi.
λx = λy tengligining ikki tomoniga −λy elementini
qo‘shsak λ(x − y) = 0 tengligiga ega bo‘lamiz. λ 6= 0 bo‘lgani uchun
x − y = λ
−1
[λ(x − y)] = 0, ya’ni x = y.
4.1.5. Barcha haqiqiy koeffisientli ko‘phadlar fazosi P [X]
da
1, t, t
2
, ..., t
n
, ....
sistema chiziqli erkli ekanligini ko‘rsating.
Yechimi. Aytaylik, a
0
, a
1
, ..., a
n
∈ R sonlari uchun har bir t ∈ R da
a
0
t + a
1
t + ... + a
n
t
n
= 0
bo‘lsin. Oxirgi tenglikdan n marta hosila olsak, u holda n!a
n
= 0, ya’ni
a
n
= 0 kelib chiqadi. Bundan
a
0
t + a
1
t + ... + a
n−1
t
n−1
= 0.
Xuddi shunday bu tenglikdan n − 1 marta hosila olsak, u holda (n −
1)!a
n−1
= 0, ya’ni a
n−1
= 0 kelib chiqadi. Bu jarayonni davom ettirsak,
a
n
= a
n−1
= ... = a
1
= a
0
= 0 ga ega bo‘lamiz. Bundan
1, t, t
2
, ..., t
n
, ....
sistema chiziqli erkli ekanligini ko‘rinadi.

§ 4.1. Chiziqli fazolar va chiziqli funksionallar
113
4.1.6. Agar E = C[0, 1] va F = {f ∈ C[0, 1] : f (0) = 0} bo‘lsa,
u holda E/F faktor fazoni toping.
Yechimi. 1(t) = 1, t ∈ [0, 1] birlik funksiyani olaylik. U holda
f ∈ C[0, 1] uchun g = f − c1 ∈ F bo‘ladi, bunda c = f (0). Bundan har
bir f ∈ C[0, 1] yagona ravishda
f = g + c1, g ∈ F, c ∈ R
ko‘rinishda yoziladi. Bundan E/F faktor fazo {c1 : c ∈ R} ∼
= R fazoga
izomorfdir.
4.1.7. Haqiqiy sonlar maydonida aniqlangan va t o‘zga-
ruvchiga bog‘liq barcha ko‘phadlar chiziqli fazosida t
2
+ 1, t
2
+
t, 1 vektorlar sistemasining chiziqli qobig‘i qanday bo‘ladi?
Yechimi. Xohlagan α, β, γ haqiqiy sonlari uchun
α(t
2
+ 1) + β(t
2
+ t) + γ = (α + β)t
2
+ βt + α + γ
tenligi o‘rinli bo‘lgani uchun berilgan sistemaning chiziqli qobig‘i
haqiqiy koeffitsientli barcha kvadrat uchhadlarning chiziqli fazosidan
iborat bo‘ladi.
4.1.8. H to‘plam K maydon ustidagi L chiziqli fazoning
giperqism fazosi bo‘lib, x
1
∈ L/H bo‘lsin. U holda L ning
xohlagan x elementi
x = λx
1
+ h, (λ ∈ K, h ∈ H)
ko‘rinishda yagona usulda yozilishini isbotlang.
Yechimi. H giperqism fazo bo‘lgani uchun L (H, x
0
) = L tenglikni
qanoatlantiruvchi x
0
∈ L elementi mavjud. Shu sababli x
1
∈ L/H
elementni
x
1
= λ
0
x
0
+ λ
1
h
1
+ λ
2
h
2
+ . . . + λ
n
h
n
,
(h
1
, h
2
, . . . , h
n
∈ H)
ko‘rinishda yozish mumkin. λ
1
h
1
+ λ
2
h
2
+ . . . + λ
n
h
n
= h
0
belgilashni
kiritamiz. U holda x
1
= λ
0