Kudaybergenov k. K. Funksional analizdan misol va masalalar

t
Z
0
(s − t)ϕ
n
(s) ds + · · · .
Bundan
ϕ
0
(t) = t,
ϕ
1
(t) =
t
Z
0
(s − t)s ds = −
t
3
3!
,
ϕ
2
(t) =
t
Z
0
(s − t)(−
s
3
3!
) ds =
t
5
5!
,
ϕ
3
(t) =
t
Z
0
(s − t)
s
5
5!
ds = −
t
7
7!
,
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · .
Bu tengliklarni (7.26) qatorga qoyib, berilgan integral tenglamaning
yechimiga ega bo‘lamiz:
ϕ(t) = t −
t
3
3!
+
t
5
5!
−
t
7
7!
+ · · · .

§ 7.4. Integral operatorlar va tenglamalar
291
Bundan ϕ(t) = sin t.
7.4.8. C[0, 1] fazoda
f (s) = λ
π
2
Z
0
cos (s − t)f (t) dt
integral tenglama λ parametrning qanday qiymatlarida
noldan farqli yechimga ega bo‘ladi?
Yechimi. cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β dan
f (s) = λ cos s
π
2
Z
0
cos tf (t) dt + λ sin s
π
2
Z
0
sin tf (t) dt.
(7.27)
Demak, bu tenglama yechimlari
f (t) = λ(a cos t + b sin t)
shaklga ega. Bu ifodani (7.27) ga qo‘ysak,
a = λ
π
2
Z
0
cos t(a cos t + b sin t) dt,
b = λ
π
2
Z
0
sin t(a cos t + b sin t) dt
tengliklarga ega bo‘lamiz. Bundan
a = λ
µ
aπ
4
+
b
2
¶
,
b = λ
µ
a
2
+
bπ
4
¶
sistemaga ega bo‘lamiz. Bu sistema va bundan integral tenglama ham,
λ =
4
π ± 2
qiymatda noldan farqli yechimga ega bo‘ladi.
7.4.9. C[0, π] fazosidagi
Ax(t) =
π
Z
0
cos(t + s)x(s) ds

292
VII. Chiziqli operatorlar fazosi
operatorining xos sonlarini toping.
Yechimi. λ operatorning xos soni bo‘lsin. U holda
π
Z
0
cos(t + s)x(s) ds = λx(t),
bunda x(t) funksiyasi λ ga mos xos vektor. Bundan
cos t
π
Z
0
cos s x(s) ds − sin t
π
Z
0
sin s x(s) ds = λx(t),
(7.28)
ya’ni
x(t) = c
1
cos t + c
2
sin t,
(7.29)
bunda
c
1
=
π
Z
0
cos sx(s) ds, c
2
=
π
Z
0
sin sx(s) ds.
(7.29) formuladagi x(t) ni (7.28) ga qo‘ysak, u holda
λ(c
1
cos t + c
2
sin t) =
π
Z
0
[cos t cos s − sin t sin s](c
1
cos t + c
2
sin t) ds.
Endi
π
Z
0
cos
2
s ds =
π
2
,
π
Z
0
cos s sin s ds = 0,
π
Z
0
sin
2
s ds =
π
2
tengliklaridan,
λ(c
1
cos t + c
2
sin t) = c
1
π
2
cos t − c
2
π
2
sin t.
cos t va sin t funksiyalarning chiziqli erkli ekanligidan,
λc
1
=
π
2
c
1
, λc
2
= −
π
2
c
2
.
(7.28) dagi x(t) xos vektor bo‘lsa, u holda u noldan farqli, ya’ni c
1
6= 0
yoki c
2
6= 0. Bundan
λ
1
=
π
2
, λ
2
= −
π
2
operatorning xos sonlaridir.

§ 7.4. Integral operatorlar va tenglamalar
293
7.4.10. C[0,
π
2
] fazosidagi
Ax(t) =
π
2
Z
0
cos(t + s)x(s) ds
operatorining xos sonlarini toping.
Yechimi. λ operatorning xos soni bo‘lsin. 7.4.9-misoldagidek, x(t)
xos vektor uchun
x(t) = c
1
cos t + c
2
sin t,
bunda
c
1
=
π
2
Z
0
cos sx(s) ds, c
2
=
π
2
Z
0
sin sx(s) ds
va
λ(c
1
cos t + c
2
sin t) =
π
2
Z
0
[cos t cos s − sin t sin s](c
1
cos t + c
2
sin t) ds.
Endi
π
2
Z
0
cos
2
s ds =
π
2
Z
0
sin
2
s ds =
π
4
,
π
2
Z
0
cos s sin s ds =
1
2
tengliklaridan,
λ(c
1
cos t + c
2
sin t) = c
1
π
4
cos t −
c
1
2
sin t +
c
2
2
cos t − c
2
π
4
sin t.
cos t va sin t funksiyalarning chiziqli erkli ekanligidan,
½
π
4
c
1
+
1
2
c
2
= λc
1
,
−
1
2
c
1
−
π
4
c
2
= λc
2
.
Bu sistemadan,
λ
1
=
r
π
2
16
−
1
4
, λ
2
= −
r
π
2
16
−
1
4
operatorning xos sonlaridir.
7.4.11. Integral tenglamani yeching:
x(t) −
1
Z
0
(st − s
2
t
2
)x(s) ds = t
2
.

294
VII. Chiziqli operatorlar fazosi
Yechimi. Bu tenglama yechimini
x(t) = c
0
+ c
1
t + c
2
t
2
ko‘rinishda izlaymiz. Bu ifodani tenglamaga qo‘ysak, u holda
c
0
+ c
1
t + c
2
t
2
= t
1
Z
0
s(c
0
+ c
1
s + c
2
s
2
) ds − t
2
1
Z
0
s
2
(c
0
+ c
1
s + c
2
s
2
) ds + t
2
.
Bundan
c
0
+ c
1
t + c
2
t
2
= t
³c
0
2
+
c
1
3
+
c
2
4
´
+ t
2
³
1 +
c
0
3
+
c
1
4
+
c
2
5
´
.
Demak,
c
0
= 0,
c
1
=
c
1
3
+
c
2
4
,
c
2
= 1 +
c
1
4
+
c
2
5
.
Bundan
c
0
= 0, c
1
=
60
113
, c
2
=
160
113
,
ya’ni, tenglama yechimi:
x(t) =
60
113
t +
160
113
t
2
.
Mustaqil ish uchun masalalar
1 – 4 misollarda II-tur Fredholm aynigan yadroli integral
tenglamalarni yeching:
1. ϕ(t) = 2
1
R
0
(1 + 3ts)ϕ(s) ds + t
2
.
2. ϕ(t) = 2
π
R
0
cos s cos tϕ(s) ds + 1.
3. ϕ(t) = 3
π
R
0
(1 + sin t sin s)ϕ(s) ds + t.
4. ϕ(t) = λ
1
R
0
(1 + t + s)ϕ(s) ds + t.
5 – 8 masalalarda tenglamalarni ketma-ket yaqinlashish usuli bilan
yeching:
5. ϕ(t) = 12
1
R
0
ϕ(s) ds + e
t
− 1 − e
2 .

§ 7.4. Integral operatorlar va tenglamalar
295
6. ϕ(t) = 13
1
R
0
tsϕ(s) ds + 1 − e
2 .
7. ϕ(t) = 12
1
R
0
sϕ(s)ds + 32e
t
− 12te
t
− 12.
8. ϕ(t) = 14
1
R
0
tsϕ(s)ds + sin t − t4.
9 – 12 masalalarda Volterra tenglamalarini yeching:
9. ϕ(t) =
t
R
0
ϕ(s) ds + 1.
10. ϕ(t) =
t
R
0
(s − t)ϕ(s) ds + 1.
11. ϕ(t) = 4
t
R
0
(s − t)ϕ(s) ds + t.
12. ϕ(t) =
t
R
0
(6t − 6s + 5)ϕ(s) ds + 6t + 29.

ADABIYOTLAR
1. Aleksandrov P.S. Vvedenie v teoriyu mnojestv i obshuyu
topologiyu. – M.: Nauka, 1977.
2. Antonevich A.B., Knyazev P.N., Radyno Ya.B. Zadachi i upraj-
neniya po funksional’nomu analizu. – Minsk: Vysheyshaya shkola,
1978.
3. Ayupov Sh.A., Berdikulov M.A., Turgunbaev R.M. Funksiyalar
nazariyasi. – Toshkent, 2004.
4. Ayupov Sh.A., Berdikulov M.A., Turgunbayev R.M. Funksional
analiz. – Toshkent, TDPU, 2007.
5. Berezanckii Yu.M., Us G.F., Sheftel’ Z.G. Funksional’niy analiz. –
Kiev: Vysha shkola, 1990.
6. Danford N., Shvarts D. Lineyniye operatori.
T. 1.: Obshaya
teoriya. Izd-vo inostr. lit. 1962.
7. Edvards R. Funksional’niy analiz. – M.: Mir, 1969.
8. Engel’king R. Obshaya topologiya. – M.: Mir, 1986.
9. Gaymnazarov G., Gaymnazarov O.G. Funksional analiz kursidan
masalalar, – Toshkent, Fan va texnologiya, 2006.
10. Gorodetskiy V.V., Nagnibida N.I., Nastasiev P.P. Metody reshe-
niya zadach po funksional’nomu analizu. – M.: Vysshaya shokla,
1990.
11. Ibragimov M.M. Funksional analizden misallar. – Nukus, Bilim,
2007.
12. Iosida K. Funksional’niy analiz. – M.: Mir, 1967.
13. Kantorovich L.V., Akilov G.P. Funksional’niy analiz. – M.: Nauka,
1977.
14. Kirillov A.A., Gvishiani A.D. Teoremi i zadachi funksional’nogo
analiza. – M.: Nauka, 1979.

297
15. Knyazev P.N. Funksional’niy anlaiz.
– Minsk: Vysheyshaya
shkola, 1985.
16. Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Elementi teoriy funksiy i funk-
sional’nogo analiza. – M: Nauka, 1977.
17. Kutateladze S.S. Osnovy funksional’nogo analiza. – Novosibirsk,
2001.
18. Lyusternik L.A., Sobolev V.I. Elementy funksional’nogo analiza. –
M.: Nauka, 1965.
19. Natanson I.P. Teoriya funksiy veshestvennoy peremennoy. – M:
Nauka, 1974.
20. Ochan Yu.S. Sbornik zadach po matematicheskomu analizu. – M.:
Prosveshenie, 1981.
21. Riss F., Sekefal’vi-Nad’. Leksiy po funksional’nomu analizu. – M.:
Mir, 1979.
22. Robertson A., Robertson B. Topologicheskie vektorniye pros-
transtva. – M.: Mir, 1967.
23. Rudin U. Funksional’niy analiz. – M.: Mir, 1975.
24. Sadovnichiy V.A. Teoriya operatorov. – M.: Vysshaya shokla,
1999.
25. Sarimsakov T.A. Funksional analiz kursi. – Toshkent, O’qituvchi,
1980.
26. Sarimsakov T.A. Haqiqiy o’zgaruvchili funksialar nazariyasi. –
Toshkent, 1989.
27. Shefer X. Topologicheskie vektornie prostranstva. – M.: Mir, 1971.
28. Sherstenev A.N., Lugovaya G.D. Funksional’niy analiz. – Kazan,
2008.
29. Trenogin V.A. Funksional’niy analiz. – M.: Nauka, 1980.
30. Trenogin V.A., Pisarevskiy B.M.,Soboleva T.S. Zadachi i upraj-
neniya po funksional’nomu analizu. – M.: Nauka, 1984.
31. Vainverg M.M., Funksional’niy analiz. – M.: Prosveshenie, 1979.
32. Vulix B.Z. Vvedenie v funksional’niy analiz. – M.: Nauka, 1967.

298
33. Xalmosh P. Hilbertovo prostranstvo v zadachax. – M.: Mir, 1970.
34. Xatson V., Pim D. Prilojeniya funksional’nogo analiza i teoriy ope-
ratorov. – M.: Mir, 1983.

Index
Aksioma
– ajratish, 164
— T
0
, 164
— T
1
, 164
— T
2
, 164
— T
3
, 164
— T
4
, 164
– sanoqlilikning birinchi aksiomasi, 163
– sanoqlilikning ikkinchi aksiomasi, 163
Akslantirish
– akslantirish, 16
– biektsiya, 17
– ichiga akslantirish, 17
– ineksiya, 17
– o‘zaro bir qiymatli moslik, 17
– obrazi, 16
– proobraz, 16
– syurektsiya, 17
– ustiga akslantirish, 17
– qisqartirib akslantirish, 96
Chiziqli qobiq, 123
Fazo
– C[a, b], 75
– T
0
, T
1
, T
2
, T
3
, T
4
, 164
– `
2
, 74
– m, 75
– n-o‘lchovli arifmetik fazosi, 74
– Banax, 123
– Chiziqli fazo, 107
— n-o‘lchamli, 108
— bazisi, 108
— cheksiz o‘lchamli, 108
— chiziqli bog‘liq elementlar, 107
— chiziqli erkli elementlar, 108
— chiziqli erkli sistema, 108
— haqiqiy, 107
— kompleks, 107
— koo‘lcham, 109
— nol qism fazo, 108
— o‘zaro izomorf, 107
— qism fazo, 108
— xos qism fazo, 108
– Evklid, 145
– Hilbert, 146
– chegaralangan ketma-ketliklar fazosi, 130
– chiziqli topologik, 184
– fazo to‘ldiruvchisi, 123
– ketma-ketliklar fazosi, 129
– kompakt, 177
– lokal qavariq, 185
– metrik, 74
– normalangan, 122
— qism fazosi, 123
– o‘lchovli, 44
– qat’iy normalangan, 144
– qatorlar fazosi, 129
– qo‘shma, 229
– sanoqli-kompakt, 177
– separabel, 77, 163
– to‘la metrik, 75
– topologik, 162
– ustunlar fazosi, 129
– Ber, 77
– chiziqli operatorlar, 250
Funksional, 214
– Minkovskiy, 192
– chegaralangan, 214
– chiziqli, 110, 214
– qo‘shma bir jinsli, 110
– songa ko‘paytmasi, 229
– uzluksiz, 214
– yig‘indisi, 229
– bir jinsli, 214
– additiv, 214
– normasi, 214
Funksiya
– ekvivalentligi, 44
– o‘lchovli, 44
Halqa
– σ-algebra, 33
– σ-halqa, 33
– algebra, 33
– halqa, 33
– yarim halqa, 33
Integral
– Lebeg, 59
299

300
Integral operator
– aynigan yadro, 284
– Hilbert – Shmidt yadrosi, 283
– I va II Volterra tenglamalari, 284
– I-tur Fredholm tenglamasi, 283
– II-tur Fredgolm, 283
– simmetrik, 284
– yadrosi, 283
Ketma-ketlik
– fundamental, 75
– limiti, 75
Kompakt
– kompakt to‘plam, 89
– nisbiy kompakt to‘plam, 89
Metrika
– ekvivalent metrikalar, 76
– metrika, 74
Munosabat
– binar, 106
Norma
– ekvivalent, 144
– norma, 122
Nuqta
– chegaraviy nuqta, 76
– ichki nuqta, 76
– limit nuqta, 76
– qo‘zg‘almas, 96
– urinish nuqta, 76
– yakkalangan nuqta, 76
– ekstremal, 111
O‘lchov
– o‘lchov, 34
– sanoqli-additiv, 34
Operator, 196
– chegaralangan, 196
– chiziqli, 196
– normasi, 196
– uzluksiz, 196
– kompakt, 271
– ortogonal proektorlar, 251
– proektor, 251
– resolventasi, 263
– spektri, 262
– xos soni, 262
– xos vektori, 262
– chekli o‘lchamli operator, 271
Ortogonal bazis, 146
Ortogonal sistema, 146
Ortonormal sistema, 146
Qator
– Fure qatori, 146
Sistema
– ajratuvchi, 185
– markazlashgan, 177
Skalyar ko‘paytma, 145
Tengsizlik
– Bessel, 155
– Koshi — Bunyakovskiy, 145
Teorema
– Boltsano — Veyershtrass, 93
– Hausdorf, 90
– Riss — Fisher, 155
– Xan — Banax, 115
– qisqartirib akslantirish prinsipi, 97
– Banax (teskari operator haqida), 209
– Lebeg, 51
– Yegorov, 50
To‘la sistema, 123
To‘plam
– absolyut qavariq, 185
– ayirmasi, 9
– birlashmasi, 7
– bo‘sh, 7
– chegarasi, 76
– chekli ochiq qoplamasi, 177
– dekart, to‘g‘ri kopaytma, 9
– diagonali, 106
– ekvivalent to‘plamlar, 22
– giperkontinuum quvvati, 23
– hamma yerda zich, 77
– hech bir yerda zich emas, 77
– hosila to‘plam, 76
– kesihsmasi, 8
– kontinuum quvvati, 23
– mukammal, 77
– muvozanatlashgan, 184
– o‘zaro kesishmaydigan, 9
– ochiq qoplamasi, 177
– qism, 7
– quvvati, 22
– sanoqli, 23
– sanoqsiz, 23
– simmetrik ayirma, 9
– sistemasi, 8
– to‘liq chrgaralangan, 89
– to‘plamga nisbatan to‘ldiruvchi, 10
– xos qism to‘plamlari, 7
– xosmas qism to‘plamlari, 7
– yopiq, 77
– yutuvchi, 184

301
– zich, 77
– birinchi kategoriyali, 77
– ekstremal chegarasi, 111
– ikkinchi kategoriyali, 77
– Kantor to‘plami, 43
– ochiq, 77
To‘r
– ε-to‘r, 89
– to‘r, 89
Topologiya, 162
– *-kuchsiz, 240
– bazasi, 163
– kuchli, 163, 239
– kuchsiz, 239
– sust, 163
– kuchli topologiya, 251
– kuchsiz topologiya, 250
– tekis topologiya, 251
Yaqinlashish
– *-kuzsiz yaqinlashish, 240
– deyarli, 44
– kuzsiz yaqinlashish, 239
– o‘lchov bo‘yicha, 44