Kudaybergenov k. K. Funksional analizdan misol va masalalar

{x
n
} ketma-ketlikning chegaralangan ekanligini ko‘rsatamiz. Faraz qi-
laylik, {x
n
} ketma-ketlik chegaralanmagan bo‘lsin. U holda qismiy
ketma-ketlikka o‘tib, ||x
n
|| → ∞ deb olish mumkin. Endi (7.14) teng-
likdan
x
n
||x
n
||
− A
µ
x
n
||x
n
||
¶
→ 0.
(7.15)
A operatori kompakt ekanligidan, yana qismiy ketma-ketlikka o‘tib,
½
A
µ
x
n
||x
n
||
¶¾
yaqinlashuvchi deb olishimiz mumkin. U holda
½
x
n
||x
n
||
¾
ketma-ketlik ham birlik normali biror z ∈ H vektoriga yaqinlashadi.
(7.15) formuladan, T (z) = 0, ya’ni z ∈ ker T. Endi x
n
⊥ ker T ekan-
ligidan, z ⊥ ker T. Demak, z ∈ ker T
⊥
va z ∈ ker T. Bundan z = 0.
Bu esa ||z|| = 1 tengligiga zid. Hosil bo‘lgan ziddiyatdan, {x
n
} ketma-
ketlikning chegaralangan ekanligi kelib chiqadi.
Yana qismiy ketma-ketlikka o‘tib, {A(x
n
)} yaqinlashuvchi deb oli-
shimiz mumkin. U holda (7.14) dan {x
n
} yaqinlashuvchi bo‘ladi. Ay-
taylik, x = lim
n→∞
x
n
bo‘lsin. Yana (7.14) tenglikdan y = T (x) kelib
chiqadi. Bundan y ∈ R(T ), ya’ni R(T ) yopiq qism fazo.
7.3.7. Hilbert fazosidagi o‘z-o‘ziga qo‘shma operatorning
barcha xos qiymatlari haqiqiydir.
Yechimi. A = A
∗
va A(x) = λx, x 6= 0 bo‘lsin. U holda
λhx, xi = hλx, xi = hA(x), xi =
= hx, A
∗
(x)i = hx, A(x)i = hx, λxi = λhx, xi,
ya’ni λhx, xi = λhx, xi, yoki λ||x||
2
= λ||x||
2
. Endi ||x|| 6= 0 ekanligidan,
λ = λ, ya’ni λ haqiqiy son.
7.3.8. O‘z-o‘ziga qo‘shma operatorning har xil xos qiymat-
lariga mos xos vektorlari ortogonaldir.
Yechimi. A o‘z-o‘ziga qo‘shma operator, λ 6= µ bu operatorning xos
qiymatlari bo‘lsin. x, y mos ravishda λ, µ sonlarga mos xos vektorlar,
ya’ni A(x) = λx, A(y) = µy bo‘lsin. U holda
λhx, yi = hλx, yi = hA(x), yi = hx, A
∗
(y)i =
= hx, A(y)i = hx, µyi = µhx, yi = µhx, yi,
ya’ni (λ − µ)hx, yi = 0. Bundan hx, yi = 0, ya’ni x ⊥ y.
7.3.9. `
2
fazosida T operatori quyidagi
T ((x
n
)
∞
n=1
) =
µ
0, x
1
,
x
2
2
, · · · ,
x
n−1
n − 1
, · · ·
¶

§ 7.3. Kompakt operatorlar
275
formula orqali aniqlanadi. U holda
a) T operatorning kompakt ekanligini ko‘rsating;
b) T operatorining birorta xos soni yo‘qligini ko‘rsating.
Yechimi. a) x ∈ `
2
va y = T (x), y = (y
1
, y
2
, y
3
, ...) bo‘lsin. Har
bir x = (x
1
, x
2
, x
3
, ...) ∈ `
2
uchun T (x) =
³
0, x
1
, x
2
2 , · · · ,
x
n−1
n − 1, · · ·
´
ekanligidan, y
n
= x
n−1
n − 1, n > 1. Agar ||x|| ≤ 1 bo‘lsa, u holda
|x
n
| ≤ 1, n ∈ N. Bundan |y
n
| = | x
n−1
n − 1| ≤
1
n − 1, n > 1. Demak, y
nuqta asosiy parallelepipedda joylashgan va asosiy parallelepipedning
kompaktligidan birlik shar obrazi nisbiy kompakt bo‘ladi. Bundan T
kompakt operator.
b) Faraz qilaylik, λ ∈ C soni T operatorning xos soni bo‘lsin. U
holda noldan farqli x = (x
1
, x
2
, x
3
, ...) ∈ `
2
vektori topilib, T (x) = λx
tengligi, ya’ni
µ
0, x
1
,
x
2
2
, · · · ,
x
n−1
n − 1
, · · ·
¶
= (λx
1
, λx
2
, λx
3
, λx
4
, ...)
tengligi bajariladi. Bundan λx
1
= 0 va i > 1 bo‘lganda λx
i
=
1
i − 1x
i−1
.
Agar λ = 0 bo‘lsa, λx
i
=
1
i − 1x
i−1
tengligidan x
1
= x
2
= x
3
= ... = 0
kelib chiqadi. Agar λ 6= 0 bo‘lsa, λx
1
= 0 va λx
i
=
1
i − 1x
i−1
tenglik-
lardan x
1
= x
2
= x
3
= ... = 0 kelib chiqadi, ya’ni x = 0. Bu esa x 6= 0
ekanligiga zid. Demak, farazimiz noto‘g‘ri va T operatorining xos soni
mavjud emas.
7.3.10. A : L
2
[0, 1] → L
2
[0, 1] operatori
(Ax)(t) =
1
Z
0
st(1 − st)x(s) ds
formula orqali aniqlansa, u holda A kompakt operatori ekan-
ligini isbotlang.
Yechimi. A operatorini quyidagi shaklda ifodalaymiz:
(Ax)(t) = t
1
Z
0
sx(s) ds − t
2
1
Z
0
s
2
x(s) ds = tc
1
− t
2
c
2
,
bunda c
1
=
1
R
0
sx(s) ds, c
2
=
1
R
0
s
2
x(s) ds. Bundan A chekli o‘lchamli
operator va demak, kompakt operator bo‘ladi.

276
VII. Chiziqli operatorlar fazosi
7.3.11. Hilbert fazosidagi har bir kompakt operator chekli
o‘lchamli operatorlar ketma-ketligining tekis limiti ekanligini
isbotlang.
Yechimi. Faraz qilaylik, {λ
n
} ketma-ketlik A kompakt operatori-
ning modullari bo‘yicha kamayish tartibida yozilgan xos sonlari, {e
n
}
xos vektorlardan iborat ortonormal bazis bo‘lsin. U holda har bir x ∈ H
uchun
A(x) =
∞
X
n=1
λ
n
hx, e
n
ie
n
tengligi o‘rinlidir. Har bir m ∈ N uchun
A
m
(x) =
m
X
n=1
λ
n
hx, e
n
ie
n
operatorini aniqlaymiz. Bunda A
m
chekli o‘lchamli operatorlardir. Endi
x ∈ H uchun
||A(x) − A
m
(x)||
2
= hA(x) − A
m
(x), A(x) − A
m
(x)i =
=
*
∞
X
n=m+1
λ
n
hx, e
n
ie
n
,
∞
X
n=m+1
λ
n
hx, e
n
ie
n
+
=
=
∞
X
n=m+1
∞
X
k=m+1
hλ
n
hx, e
n
ie
n
, λ
k
hx, e
k
ie
k
i =
=
∞
X
n=m+1
hλ
n
hx, e
n
ie
n
, λ
n
hx, e
n
ie
n
i =
∞
X
n=m+1
|λ
n
|
2
|hx, e
n
i|
2
≤ |λ
m
|
2
||x||
2
.
Bundan
||A − A
m
|| ≤ |λ
m
| → 0.
7.3.12. H Hilbert fazosi, {e
n
} bu fazoda ortonormal bazis,
{λ
n
} nolga monoton kamayuvchi sonlar ketma-ketligi bo‘lsin.
Har bir x ∈ H uchun
A(x) =
∞
X
n=1
λ
n
hx, e
n
ie
n
.
A chegaralangan operator va har bir λ
n
uning xos sonlari
ekanligini ko‘rsating.
Yechimi. x ∈ H uchun
||A(x))||
2
= hA(x), A(x)i =
*
∞
X
n=1
λ
n
hx, e
n
ie
n
,
∞
X
n=1
λ
n
hx, e
n
ie
n
+
=

§ 7.3. Kompakt operatorlar
277
=
∞
X
n=1
λ
2
n
|hx, e
n
i|
2
≤ λ
2
1
∞
X
n=1
|hx, e
n
i|
2
= λ
2
1
||x||
2
,
ya’ni
||A(x))|| ≤ λ
1
||x||.
Endi x = e
1
vektori uchun
||A(e
1
))||
2
= hA(e
1
), A(e
1
)i =
=
*
∞
X
n=1
λ
n
he
1
, e
n
ie
n
,
∞
X
n=1
λ
n
he
1
, e
n
ie
n
+
= hλ
1
e
1
, λ
1
e
1
i = λ
2
1
||e
1
||
2
,
ya’ni
||A(e
1
))|| = λ
1
||e
1
||.
Bundan
||A|| = λ
1
.
Endi
A(e
n
) =
∞
X
i=1
λ
i
he
m
, e
i
ie
i
= λ
n
e
n
ekanligidan, har bir λ
n
operatorning xos sonidir.
7.3.13. A : C[0, 1] → C[0, 1] operatori
(Ax)(t) =
1
Z
0
K(s, t)x(t) dt
formula orqali aniqlansa, u holda A kompakt operatori ekan-
ligini isbotlang.
Yechimi. M = sup
0≤s,t≤1
|K(s, t)| bo‘lsin. U holda {(s, t) : 0 ≤ s, t ≤
1} to‘plamning kompaktligidan, K(s, t) funksiya bu kvadratda tekis
uzluksiz bo‘ladi, ya’ni ∀ε > 0 uchun ∃δ > 0 topilib,
|s
1
− s
2
| + |t
1
− t
2
| < δ
bo‘lganda
|K(s
1
, t
1
) − K(s
2
, t
2
)| < ε
tengsizligi bajariladi. Bundan
|y(s
1
) − y(s
2
)| =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1
Z
0
(K(s
1
, t) − K(s
2
, t)) x(t) dt
¯
¯
¯
¯
¯
¯
≤

278
VII. Chiziqli operatorlar fazosi
≤
1
Z
0
|K(s
1
, t) − K(s
2
, t))||x(t)| dt ≤
1
Z
0
ε||x|| dt = ε||x||,
ya’ni
|y(s
1
) − y(s
2
)| ≤ ε||x||.
(7.16)
(7.16) tengsizlikdan y(s) funksiyaning uzluksizligi kelib chiqadi, ya’ni
y ∈ C[0, 1].
Endi F = {x : x ∈ C[0, 1]} chegaralangan to‘plam bo‘lsa, u holda
(7.16) tengsizlikdan {A(x) : x ∈ F } to‘plamning tekis darajali uzluksiz-
ligi kelib chiqadi.
Agar ||x|| ≤ c bo‘lsa, u holda
||y|| = sup
0≤s≤1
|y(s)| ≤
1
Z
0
|K(s, t)||x(t)| dt ≤ M||x||,
ya’ni
||y|| ≤ Mc.
Demak, A operatori har bir chegaralangan to‘plamini tekis chegaralan-
gan va tekis darajali uzluksiz to‘plamga, ya’ni nisbiy kompakt to‘plamga
o‘tkazadi. Bundan A operatori kompakt bo‘ladi.
7.3.14. A : L
2
[0, π] → C[0, π] operatori
(Ax)(t) =
π
Z
0
sin(t + s)x(s) ds
formula orqali aniqlansa, u holda A kompakt operatori ekan-
ligini isbotlang.
Yechimi. x ∈ L
2
[0, π] va ||x|| ≤ 1 bo‘lsin. U holda
a)
|A(x)(t)| =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
π
Z
0
sin(t + s)x(s) ds
¯
¯
¯
¯
¯
¯
≤
v
u
u
u
t
π
Z
0
sin
2
(t + s) ds
v
u
u
u
t
π
Z
0
|x(s)|
2
ds =
≤



v
u
u
u
t
π
Z
0
1 ds


 ||x|| ≤
√
π,
ya’ni |A(x)(t)| ≤
√
π.

§ 7.3. Kompakt operatorlar
279
b)
|A(x)(t
1
) − A(x)(t
2
)| =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
π
Z
0
[sin(t
1
+ s) − sin(t
2
+ s)]x(s) ds
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
= 2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
π
Z
0
sin
t
1
− t
2
2
cos(s +
t
1
+ t
2
2
)x(s) ds
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
≤
v
u
u
u
t
π
Z
0
[sin
t
1
− t
2
2
cos(s +
t
1
+ t
2
2
)]
2
ds
v
u
u
u
t
π
Z
0
|x(s)|
2
ds ≤
≤ |t
1
− t
2
|
√
π,
ya’ni |A(x)(t
1
) − A(x)(t
2
)| ≤ |t
1
− t
2
|
√
π.
Bundan A operatori L
2
[0, π] fazo birlik sharini tekis chegaralangan
va tekis darajali uzluksiz to‘plamga o‘tkazadi. Demak, A kompakt ope-
rator bo‘ladi.
7.3.15. Agar T : H → H ermit kompakt operatori bo‘lsa,
u holda ±||T || sonlardan kamida bittasi T operatorining xos
sonlari ekanligini ko‘rsating.
Yechimi. T = 0 operatori uchun ravshan bo‘lganligidan, T 6= 0
holni qaraymiz. T ermit operatori bo‘lganligidan,
||T || = sup
||x||=1
|hT (x), xi|
tengligi o‘rinli. Bundan H fazoda shunday {x
n
} ketma-ketlik mavjud
bo‘lib, ||x
n
|| = 1 va n → ∞ da hT (x
n
), x
n
i| → ||T ||. Yana T ermit
operatori bo‘lganligidan,
hT (x
n
), x
n
i = hx
n
, T
∗
x
n
i = hx
n
, T (x
n
)i = hT (x
n
), x
n
i,
ya’ni hT (x
n
), x
n
i haqiqiy son. Qismiy ketma-ketlikka almashtirib,
hT (x
n
), x
n
i → λ,
bunda λ = ||T || yoki λ = −||T || deb olamiz. U holda
||T (x
n
) − λx
n
||
2
= hT (x
n
) − λx
n
, T (x
n
) − λx
n
i =
= ||T (x
n
)||
2
− 2λhT (x
n
), x
n
i + λ
2
||x
n
||
2
≤
≤ ||T ||
2
||x
n
||
2
− 2λhT (x
n
), x
n
i + λ
2
||x
n
||
2
=

280
VII. Chiziqli operatorlar fazosi
= 2λ
2
− 2λhT (x
n
), x
n
i,
ya’ni
0 ≤ ||T (x
n
) − λx
n
||
2
| ≤ 2λ
2
− 2λhT (x
n
), x
n
i → 0.
Bundan
T (x
n
) − λx
n
→ 0.
Endi T operatorining kompaktligidan, {x
n
} ketma-ketlikning shun-
day {x
n
p
} qismiy ketma-ketmaligi mavjud bo‘lib, {T (x
n
p
)} ketma-ketlik
yaqinlashuvchi bo‘ladi. T (x
n
p
) → y bo‘lsin. U holda λx
n
p
→ y va
λT (x
n
p
) → T (y). Bundan T (y) = λy. Nihoyat
||y|| = lim
p→∞
||λx
n
p
|| = |λ| = ||T || 6= 0
ekanligidan, λ soni T operatorining xos soni bo‘ladi.
7.3.16. Agar A : C[0, 1] → C[0, 1] operatori
Ax(t) = tx(t)
kabi aniqlansa, u holda A kompakt operator bo‘ladimi?
Yechimi. C[0, 1] fazoda quyidagi funksiyalarni qaraylik:
x
n
(t) =



0,
agar t ∈ [0,
1
2
+
1
2
n+1
),
2
n+1
t − 2
n
− 1, agar t ∈ [
1
2
+
1
2
n+1
,
1
2
+
1
2
n
),
1,
agar t ∈ [
1
2
+
1
2
n
, 1].
U holda ||x
n
|| = 1 va t
n
= 12 +
1
2
n
uchun x
n
(t
n
) = 1, x
m
(t
n
) = 0, n > m.
Bundan
||Ax
n
− Ax
m
|| ≥ |t
n
x
n
(t
n
) − t
n
x
m
(t
n
)| ≥
1
2
,
ya’ni
||Ax
n
− Ax
m
|| ≥
1
2
.
Bundan {Ax
n
} ketma-ketlikning birorta ham qismiy ketma-ketligi
yaqinlashuvchi emas. Demak, A kompakt operator emas.
7.3.17. Agar A : C[0, 1] → C[0, 1] operatori
Ax(t) = x(t
2
)
kabi aniqlansa, u holda A kompakt operator bo‘ladimi?
Yechimi. x
n
va t
n
lar oldingi masaladagi funksiya va nuqtalar
bo‘lsin. Har bir n uchun y
n
= x
n
(
√
t) deylik. U holda
||Ay
n
− Ay
m