Kurs ishi mavzu: Aniqmas integrallar

Kurs ishining dolzarbligi. Ushbu kurs ishi oliy ta’lim muassasalarida «Matematika va informatika» bakalavriat ta`lim yo`nalishida tahsil olayotgan talabalarning «Matematik analiz» fani dasturining «integrallar» bo`limiga bag`ishlangan. Qatorlar nazariyasi «Matematik analiz» fanining «Analizga kirish», «Bir o`zgaruvchili funksiyaning differensial hisobi», «Bir o`zgaruvchili funksiyaning integral hisobi» bo`limlari bilan uzviy bog`langan.
Umumiy o`rta maktab, kasb-hunar kolleji va akademik litsey matematika kurslarida odatda qo`shiluvchilari soni chekli bo`lgan yig`indilar, qo`shiluvchilari soni cheksiz bo`lgan yig`indilardan faqat cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig`indisi qaraladi. Matematik analiz kursida qo`shiluvchilari soni cheksiz bo`lgan yig`indilar qaralib, ular cheksiz qatorlar yoki qatorlar deb ataladi. Qatorlar nazariy jihatdan funksiyalarni o`rganishning muhim vositasi, amaliy jihatdan taqribiy hisoblash (funksiyaning qiymatini, integralning qiymatini va boshq.) apparati bo`lib xizmat qiladi. Shuningdek u ko`pgina tatbiqiy masalalarni yechishda qo`llaniladi.

BOSHLANG’ICHFUNKSIYA
1.Boshlang’ichfunksiyatushunchasi.Birorintervaldaikkif vaF funksiyalar berilganbo’lib,ular
F⁰(x) = f(x)
munosabatbilanbog’langanbo’lsin.
Yuqoridabayonqilinganidek,bundaf funksiyaF funksiyaninghosilasideyiladi. F funksiyanibilganholdaf funksiyanitopishusullariniko’ribchiqdik.
Ushbubobdaesabizteskarimasalanio’rganamiz,ya’niagarf funksiyama’lum bo’lsa,hosilasif gatengbo’lganF funksiyanitopishusulllaribilantanishamiz.
Ta’rif.AgarF funksiyabirorintervaldadifferensiallanuvchibo’lib,(5.1.1)tenglik bajarilsa, F funksiya shu intervalda f funksiya uchun boshlang’ich funksiya deyiladi.
1-Misol.Ma’lumki,(sinx)⁰ = cosx.Demak,
f(x) = cosx funksiyaningboshlang’ichfunksiasi
F(x) = sinx

bo’ladi.
Matematikada,ko’phollarda,biroroperatsiyagateskarioperatsiyakiritilganda,uyagonaravishdaaniqlanmaydi.Masalan,kvadratgaoshirishoperatsiyasiga
teskari operatsiya kvadrat ildiz chiqarish operatsiyasidir. Bunda har bir haqiqiy x soni uchun a = x² son yagona ravishda aniqlansada, ammo istalgan musbat a soni uchun shunday ikki turli x₁ va x₂ sonlartopiladiki,ularningharbiriningkvadrati a gatengbo’ladi.
Shungao’xshashholberilganfunksiyagaboshlang’ichfunksiyanitopishdaham
sodirbo’ladi.Chunonchi,agarF(x)funksiyafuchunboshlang’ichfunksiyabo’lsa istalganC o’zgarmasniolsak,F(x) + C
funktsiyaham,albatta,yanaboshlang’ich funksiya bo’ladi. Shu o’rinda f funksiyaning boshqa boshlang’ich funksiyaga ega5.1.1 - Teorema.Agar ikki F₁ va F₂ funksiyalar biror intervalda f funksiya uchunboshlang’ichfunksiyalarbo’lsa,uholdashundayCo’zgarmassontopiladiki, qaydetilganintervalda
F₁(x) ¡ F₂(x) = C
tenglikbajariladi. Isbot.Agar
g(x) = F₁(x) ¡ F₂(x) debbelgilasak,ravshanki,

1 2
g⁰(x) = F⁰(x) ¡ F⁰(x) = f(x) ¡ f(x) = 0
bo’ladi.Demak,Lagranjformulasiningnatijasigako’ra,g(x) = const ekan.
Berilgan f funksiya uchun boshlang’ich funksiya topish jarayoni f funksiyani integrallashdeyiladi.Masalan,cosx funksiyaningintegrallashnatijasisinx funksiyasidir.
AgarF funksiyaf uchunbirorboshlang’ichfunksiyabo’lsa,1-Teoremadan istalganboshqaboshlang’ichfunksiyaningF(x) + C ko’rinishgaegaekanligikelib chiqadi,bundaC
ixtiyoriyo’zgarmassondir.BuF(x)+C funksiyaf uchunboshlang’ich bo’lgan
funksiyalarning eng umumiy ko’rinishi bo’lib, uning muhimligi tufayli, u
aniqmasintegraldeganmaxsusnomgaegavauquyidagichabelgilanadi
f(x)dx:
Shundayqilib,f,funksiyadanolingananiqmasintegral quyidagi
f(x)dx = F(x) + C

ifodagatengdebhisoblanadi,bundaFfunksiyaf,funksiyaningbirorboshlang’ich funksiyasibo’lib,C esaixtiyoriyo’zgarmassondir.
Masalan,
cosxdx = sinx + C:
Shuniaytishkerakki,hozirgikundamatematikilmiyadabiyotlardabubelgilash sekinastayo’qolaboshlab,uningo’rniga¾aniqmasintervalda¿olingananiqintegral tushunchasiko’proqishlatilayapri.Lekindarsliklardabubelgilashdanxuddiavvalgidek kengfoydalanilibkelinayapti.
AgarF(x)funksiyaf(x)funksiyaningboshlang’ichfunksiyasibo’lsa,
dF(x) = f(x)dx bo’ladi.Shuninguchuntenglikni
dF(x) = F(x) + C
bo’lgani uchun