Kurs ishi mavzu: Aniqmas integrallar
Download 172.37 Kb.
|
[31.01.2023 10 59] ХАЗАРАСП МАРГИЛАН
|
Q(z) = z3 + 2z + 4; R(z) = 3z + 2 tengliklarbajariladi.
Faraz qilaylik, c ixtiyoriy kompleks son bo’lsin. Agar tenglikda H(z) polinom sifatida chiziqli ikki had deb ataluvchi birinchi darajali z ¡ c polinomni olsak, P(z) = (z ¡ c) ¢ Q(z) + R tenglikniolamiz,buyerdaR nolinchidarajalipolinom,ya’nikomlekso’zgarmas. Butenglikdaz = c desak,R = P(c) tenglik hosil bo’ladi. Shunday qilib, biz Bezu teoremasi debataluvchiquyidagitasdiqniisbotladik. Teorema (E.Bezout). Agar P(z) darajasi n ‚ 1 bo’lgan ixtiyoriy polinom bo’lsa, u holda istalgan c kompleks soni uchun darajasi n ¡ 1 bo’lgan shundayQ(z) polinomtopiladiki,u P(z) = (z ¡ c) ¢ Q(z) + P(c) tenglikniqanoatlantiradi. Agar tenglikda qoldiq aynan nol bo’lsa, ya’ni R(z) · 0 bo’lsa, P(z) polinomH(z) polinomgabo’linadideymiz. Ta’rif.AgarP(c) = 0 bo’lsa,c soniP polinomningildizidebataladi. Teorema. Darajasi n ‚ 1 bo’lgan P(z) polinom (z ¡ c) ikki hadga bo’linishiuchunc soniP polinomningildizibo’lishizarurvayetarlidir. Isbotbevosita Bezu teoremasidan kelib chiqadi. Haqiqatan, formulaga ko’ra, P(z) = (z ¡ c) ¢ Q(z) tenglikfaqatvafaqatP(c) = 0 bo’lgandabajariladi. Ushbuparagrafdaz = x + iy kompleks o’zgaruvchini qarashimizga asosiys abab shundaki,faqat shu holdagina har qanday polinomildizga ega bo’ladi deb aytish mumkin. Bu haqidagi tasdiq algebraning asosiy teoremasi deyilib, uning isbotini buyuknemismatematigiGausnomibilanbog’lashadi. Algebraningasosiyteoremasi.Musbatdarajaliharqandayalgebraikpolinom ildizgaega. Algebraningasosiyteoremasiningisbotiodatdakomplekso’zgaruvchilifunksiyalar nazariyasikursidakeltiriladi. E’tibor bering, agar biz algebraik polinomlarning faqat haqiqiy ildizlari bilan cheklanganimizda, teorema o’rinli bo’lmas edi. Masalan, P(x) = x2 + 1 ko’phad haqiqiyildizgaegaemas. Shuniqaydetibo’tamizki,polinomkoeffitsiyentlariniozginao’zgartirishnatijasida haqiqiyildizlarningsonio’zgarishimumkin.Masalan,ikkinchidarajali P(x;a) = x2 ¡ a polinoma = 0 dayagonahaqiqiyildizgaega:x0 = 0.Agardaa koeffitsiyentnoldan farqli bo’lsa, u nolga qanchalik yaqin bo’lmasin, natija o’zgaradi. Chunonchi,agar a > 0 bo’lsa,P(x;a) polinom ikki haqiqiy ildizgaega:x1=¡a;x2=a,lekin a < 0 bo’lganda esa, bu polinom umuman haqiqiyildizgaegaemas. Algebraning asosiy teoremasiga asoslanib, n - darajali istalgan polinom n ta (kompleks)ildizgaegaekaniniko’rsatamiz. Teorema.Agar P(z) - (5.4.1) ko’rinishga ega bo’lgan n ‚ 1 darajali polinombo’lsa,shundayn tac1;c2;:::;cn komplekssonlartopiladiki,ularuchun P(z) = a0(z ¡ c1) ¢ (z ¡ c2) ¢ ¢ ¢ (z ¡ cn¡1) ¢ (z ¡ cn) (5.4.5) tenglikbajariladi. Isbot.Algebraningasosiyteoremasigako’ra,P polinombirorkompleksc1 soniga teng bo’lgan ildizga ega. Demak, (5.4.4) tenglikka ko’ra, darajasi n ¡ 1 ga teng bo’lganshundayQ1(z) polinomtopiladiki,uuchun P(z) = (z ¡ c1) ¢ Q1(z) tenglikbajariladi. Agar n > 1 bo’lsa, yana algebraning asosiy teoremasiga ko’ra, Q1(z) polinom ham biror c2 ga teng bo’lgan ildizga ega bo’ladi. Demak, (5.4.4) ga ko’ra, endi darajasin ¡ 2 gatengbo’lganshundayQ2(z) polinom topiladiki, u uchun Q1(z) = (z ¡ c2) ¢ Q2(z) munosabato’rinlibo’ladi. Bundan,asosan, P(z) = (z ¡ c1) ¢ (z ¡ c2) ¢ Q2(z) niolamiz. Bumulohazalarnidavomettirib,bizquyidagi P(z) = (z ¡ c1) ¢ (z ¡ c2) ¢ ¢ ¢ (z ¡ cn¡1) ¢ (z ¡ cn) ¢ Qn tenglikkakelamiz,buyerdaQn –nolinchi darajali polinom, ya’ni kompleks o’zgarmas sondir. Nihoyat, agar tenglikning o’ng tarafidagi qavslarni ochib, hosil bo’lgan polinomdagizk lar oldidagi koeffitsiyentlarnipolinomdagimoskoeffitsiyentlar bilansolishtirsak,Qn = a0 tenglikniolamiz. Eslatma.(5.4.5)tenglikdaba’zick ildizlaro’zaroustma-ust tushishi mumkin. Shuni hisobga olgan holda, polinomni ikki hadlar ko’paytmasi sifatida quyidagicha yozibolsakbo’ladi: P(z) = a0(z ¡ c1)m1 ¢ (z ¡ c2)m2 ¢ ¢ ¢ (z ¡ cl)ml ; endibuyerdabarchack sonlarharxildir.Harbirmk ko’rsatkich natural bo’lib, u ck ildizningkarrasi deyiladi.Ravshanki, m1 + m2 + ¢ ¢ ¢ + ml = n: (5.4.9) Agarkarramk = 1 bo’lsa,ck ildizoddiy,aksholdaesaukarrali ildizdeyiladi. Ravshanki, c soni P ko’phadning m - karrali ildizi bo’lishi uchun, Q(c) = 0 Shartni qanoatlantiruvchi birorko’phadtopilib, P(z) = (z ¡ c)mQ(z) tenglikningbajarilishizarurvayetarlidir. 2.Ratsionalfunksiyalarxossalari.Aytaylik,P vaQ -komplekskoeffitsiyentli algebraikpolinomlarbo’lib,Q(z) · 0 bo’lsin,ya’niQ nolga teng nolinchi darajali polinombo’lmasin.Ushbubanddabizquyidagi ko’rinishgaegabo’lganratsionalfunksiyalarnio’rganamiz.Ravshanki,berilganf Ratsional funktsiyaning aniqlanish sohasi C kompleks tekislikdan maxrajning nollariolibtashlanganto’plamgateng: D(f) = Cn fz : Q(z) = 0g: Xususan, har qanday polinom ham, Q(z) · 1 deb qarasak, ratsional funksiya bo’ladi.Agarf vag funksiyalar ratsional bo’lsa, bevosita tekshirish orqalif + g, f ¡ g, f ¢ g va g (g(z) · 0 bo’lganda) funksiyalar ham ratsional ekanini ko’rish mumkin. Download 172.37 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|