Kurs ishi mavzusini dolzarbligi

K I R I SH
Kurs ishi mavzusini dolzarbligi: Funksional analiz fani XX asrning boshlarida matematik analiz,algebra, geometriya fanlaridagi tushuncha va metodlarni umumlashtirish natijasida paydo bo‘lib, hozirgi zamon matematikasining eng ahamiyatli bo‘limlarining biri hisoblanadi. Bu fanning paydo bo‘lishi va rivojlanishi dunyoga taniqli olimlar bo‘lgan D. Hilbert, F. Riss, S. Banax, M.Freshe, A.N. Kolmogorov, S.L. Sobolev, A.N. Tixonov, S.M. Nikolskiykabilarning nomlari bilan bog‘liq.
Funksional analiz nazariyasi metodlaridan matematikaning xohlagan yo‘nalishini o‘rganishda foydalanish mumkin. Shu sababli, taklif etilayotgan o‘quv qo‘llanmaning zamonaviy matematikani chuqur o‘rganmoqchi bo‘lgan universitetlar, pedagogika institutlari talabalariga hamda matematika faniga qiziquvchi boshqa o‘quvchilarga hamfoydasi katta deb o‘ylaymiz.
Funksional analiz fani bo‘yicha rus, ingliz va boshqa tillarda juda yaxshi yozilgan adabiyotlar ko‘p. O‘quvchilarga o‘zbek tilida taqdim etilayotgan kurs ishi oliy o‘quv yurtlari ”Matematika” va ”Amaliy matematika va informatika” ta’lim yo‘nalishlari uchun funk sional analiz fani bo‘yicha o‘quv dasturiga mos yozildi .
Kurs ishi mavzusini obyekti: Hozirgi zamon muammolariga matematikaning tatbiqi funksiya tushunchasini yana ham kengaytirish zaruriyatini ko‘rsatmoqda.
Matematikaning biz o‘rganmoqchi bo‘lgan bo‘limi funksional analiz deb
nomlanadi. Funksional analiz chekli va cheksiz o‘lchamli fazolarni o‘rganadi. Bu
fazolarning elementlari funksiyalar, vektorlar, matritsalar, ketma-ketliklar,
umuman olganda boshqa matematik ob’ektlardan iborat bo‘lishi mumkin.
Funksional analizda matematik analiz, funksiyalar nazariyasi va to‘plamlar
nazariyasi, algebra va geometriya metodlari, g‘oyalari birlashib, uyg‘unlashib
o‘rganiladi. Bunda funksional bog‘lanishlar (funksiyalar) haqida eng to‘liq, chuqur
tasavvur beriladi.
Kurs ishi mavzusini predmeti: Funksional analizda matematik analiz, funksiyalar nazariyasi va to‘plamlar nazariyasi, algebra va geometriya metodlari, g‘oyalari birlashib, uyg‘unlashib o‘rganiladi. Bunda funksional qatorlar haqida eng to‘liq, chuqur tasavvur beriladi.

I-BOB. FUNKSIONAL QATORLAR

1.1-§. Funksional qatorlar.
Biz u_n (n=1,2,3,∙ ∙ ∙) cheksiz sonlar ketma-ketligidan tuzilgan sonli qatorlar bilan tanishmiz. Endi bu tushunchani umumlashtirib, funksional qator tushunchasini kiritamiz.
1-TA’RIF: Agar u_n(x) , n=0,1,2,3,∙ ∙ ∙ , biror D sohada aniqlangan funksiyalarning cheksiz ketma-ketligi bo‘lsa, ulardan tuzilgan
(1)
qator funksional qator deb ataladi.
Masalan,

funksional qatorlar bo‘ladi.
Izoh: Agar u_n(x)= u_n=const. ( n=0,1,2,3,∙ ∙ ∙ ) deb olsak (1) funksional qator sonli qatorga aylanadi.
2-TA’RIF: Agar x=x₀=const. holda (1) funksional qatordan hosil bo‘ladigan
(2)
sonli qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, unda (1) funksional qator x=x₀ nuqtada yaqinlashuvchi deyiladi , bunday nuqtalar to‘plami esa uning yaqinlashish sohasi deb ataladi.
Masalan, yuqorida keltirilgan (a) va (b) funksional qatorlarning yaqinlashish sohasi (–∞ , ∞) bo‘ladi, chunki ixtiyoriy x= x₀ uchun
.
Uchinchi (c) qatorning yaqinlashish sohasi (–1,1), chunki |x|=q<1 holda bu qator maxraji 0<q<1 bo‘lgan cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya hadlaridan tuzilgan qator bilan majorantalanadi. (d) funksional qator esa faqat x=0 nuqtada yaqinlashuvchi bo‘lishiga Dalamber alomati yordamida ishonch hosil etish mumkin.
Agar (1) funksional qatorning yaqinlashish sohasi D bo‘lsa, unda har bir x=x₀D uchun (2) sonli qatorning yig‘indisi biror S(x₀) sonidan iborat bo‘ladi. Bundan ko‘rinadiki (1) funksional qator yaqinlashish sohasida biror S(x) funksiyani aniqlaydi. S(x) funksiya (1) funksional qatorning yig‘indisi deyilib,
, (3)
kabi ifodalanadi.
Masalan, funksional qator hadlari birinchi hadi b₁=1, maxraji esa q=x bo‘lgan geometrik progressiyani tashkil etadi. Shu sababli bu qator |q|=|x|<1 , ya’ni (–1,1) sohada yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi S(x)=b₀/(1–q)=1/(1–x) funksiyadan iborat bo‘ladi.
(1) funksional qatorning dastlabki n+1 ta hadining yig‘indisini S_n(x) deb belgilaymiz. Agar bu qator yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi S(x) bo‘lsa, (3) tenglikka asosan, S(x)= S_n(x)+ r_n(x) deb yozish mumkin. Bunda r_n(x)
(4)
ko‘rinishda bo‘lib, (1) funksional qatorning qoldig‘i deyiladi. Agar xD bo‘lsa, unda
, (5)
ya’ni yaqinlashuvchi funksional qator qoldig‘i n→∞ bo‘lganda nolga intiladi.