Kurs jumisi tema : Tuwrinin’ mu’yeshli koeficenti. Tuwrilar arasindag’i mu’yesh Qabıllaǵan

ÓZBEKISTAN RESPUBLIKASI JOQARI HÁM ORTA
ARNAWLI BILIMLENDIRIW MINISTRLIGI
BERDAQ ATINDAǴI QARAQALPAQ MÁMLEKETLIK
UNIVERSITETI


Matematıka fakultetı Matematıka qánıgelıgı



1-B (keshki) kurs studentı Kalbaev Asadbek
Analitikaliq geometriya pánınen
KURS JUMISI
Tema : Tuwrinin’ mu’yeshli koeficenti.
Tuwrilar arasindag’i mu’yesh
Qabıllaǵan : Kalandarov Turabay
Orınlaǵan : Kalbaev Asadbek

Tema: Tuwrinin’ mu’yeshli koeficenti.

Tuwrilar arasindag’i mu’yesh.
Joba:
1.Tuwrinin’ mu’yeshli koefficenti haqqinda uliwma tu’sinik
2.Tuwrilar arasindag’i mu’yeshti tabiw ha’m onin’ formulalari
3.Eki tuwri siziqtin’ parallelligin yamasa perpendikulyarlig’in aniqlaw
4.Temag’a tiyisli ha’r qiyli misallar ha’m ma’seleler

Biz a’ldingi temalarda tuwrinin’ uliwma ten’lemesin shig’ardiq. Tuwrini basqa tu’rde berilgen ten’lemeler menen de aniqlawg’a boladi. Eger tuwrinin’ OX ko’sherinin’ on’ bag’iti menen jasag’an mu’yeshi ha’m onin’ OY ko’sherinen kesken kesindisi berilgen bolsa, onda usi eki shama tuwrinin’ ahwalin aniqlaw ushin toliq jetkilikli.

Meyli, l tuwrisi OX ko’sherine mu’yeshin jasap qiyallansin ha’m onin’ OY ko’sherinen kesken kesindisi ON=b bolsin (1-sizilma). Sonda ha’m shamalari tuwrinin’ tegisliktegi awhalin toliq aniqlaydi.

(1-sizilma)
Berilgen l tuwrisinin‘ u’stinen erikli M tochkasin alamiz ha’m onin‘ kordinatalarin x, y arqali belgileymiz. M tochkasinin‘ erikli tochka bolg’anliqtan, onin‘ kordinatalari x ha’m y – o’zgeriwshi kordinatalar bolip tabiladi. Eger M tochkasi l tuwrisi boylap qozg’alsa, onda onin‘ kordinatalari da u’zliksiz o’zgeriste boladi. Biraq bul o’zgeris ma’lim bir baylanisliliqta o’tedi. Endi biz usi baylanisliliqti aniqlaymiz. Sizilmadan minani tabamiz:
(1)
Al MC=y-b, OE=NC=x, demek, bulardi eske alsaq (1) ten’likti bilay jaziwg’a boladi:
(2)
Endi tg =k dep belgileyik. Bunda g’a berilgen ma’nislerge qaray k da sa’ykes ma’nislerdi qabil etetug’ini belgili.
Endi (2) ten’likti qayta jazamiz ha’m tiyisli operaciyalardi orinlaymiz:
(3)
Bunnan
(3`)
yamasa
(4)
Bul tuwrinin‘ mu’yesh koefficentli ten’lemesi dep ataladi. Bunnan k mu’yesh koefficenti, sonin’ menen birge ol tuwrinin’ OX ko’sherinin’ on’ bag’iti menen jasag’an mu’yeshli tangensin an’latadi, b - baslang’ish ordinate dep ataladi, ol berilgen tuwrinin’ OY ko’sherinen kesken kesindisin an’latadi. k ha’m parametrleri ha’r qanday san ma’nislerin qabil etiwi mu’mkin. Dara jag’dayda, bolg’anda tuwri koordinata basinan o’tedi. Sonday-aq, eger bolsa, onda tuwri OX ko’sherinin’ on’ bag’iti menen su’yir mu’yesh, al bolsa, tuwri OX ko’sherinin’ on’ bag’iti menen dog’al mu’yesh jasaydi ha’m tag’ida basqalar. To’mende k ha’m b parametrlerinin’ mu’mkin bolg’an ha’r qiyli ma’nislerine sa’ykes keliwshi tuwrilardan’ koordinata tegisliginde qalay jaylasqani ko’rsetilgen. (2-sizilma)
Na’wbettegi waziypa: x ha’m y qa qarata birinshi da’rejeli eki belgisizli ha’r qanday
(5)
ten’lemesi tuwri siziqti an’latatug’inin ko’rsetiwden ibarat.
Durisinda da, eger bolsa, onda oni y qa qarata sheshiwge boladi. Sonda biz (5) ten’lemeni

tu’rinde jaza alamiz. Bunda koefficentin bazi bir mu’yeshinin‘ tangensi dep qaraw mu’mkin, yag’niy A ha’m B nin‘ aniq ma’nislerine tangenstin‘ periodi da’lillengende nin‘ toliq aniqlang’an ma’nisleri sa’ykes keletug’ini aniq.

2-sizilma

Al shamasi bolsa ordinata ko’sherinde toliq aniqlang’an kesindini (OB = b) an’latadi (1-sizilma).
Solay etip, biz joqaridag’i belgilewlerdi kirgizsek ha’m olar haqqindag’i talqilawlarda este saqlasaq, onda (6) ten’likti

tu’rinde jaziwg’a boladi.
bolg’anda (5) tu’rdegi ha’r qanday ten’leme tuwri siziqti an’latadi dep tastiyiqlawg’a boladi.
Eger (1) ten’lemede bolsa, onda

boladi. Bunda turaqli shamani beredi. Bul OY ko’sherine parallel tuwrini an’latadi (2-sizilmadag’i 10,11-jag’daylar). Bul jag’dayda shamasi o’z ma’nisin jog’altadi. Bunda tuwri OY ko’sherine parallel, yag’niy OX ko’sherine perpendikulyar bolg’an jag’dayda g’ana orin alatug’ini o’z-o’zine tu’sinikli.
Eki tuwri arasindag’i mu’yesh
Tegislikde eki tuwri siziq berilgen bolip, olardin‘ mu‘yesh koefficentli ten’lemeleri
ha’mde
bolsin. Bunda ha’mde
(1)
Boliwin itibarg’a alsaq onda bizlerde

ekenligi kelip shig’adi.

Meyli bizlerge ha’m ten’lemeler berilgen tuwri siziqlar arasindag’i mu’yesh
(2)
formula menen aniqlanadi.
Eger eki tuwri siziq arasindag’i mu’yesh =0 bolsa onda

bolip, onda yaki tuwri siziqlar o’z-ara parallel boladi yamasa u’stpe u’st tu’sedi.
Egerde eki tuwri siziqlar arasindag’i mu’yesh bolsa, bul tuwri siziqlar o’z-ara perpendikulyar boladi

bolip onda yag’niy yamasa boladi.
1-misal. ha’m tuwri siziqlar arasindag’I mu’yeshti tabin’ .
Sheshiliwi. (2) formulag’a ko’re

boladi. Demek, .
2-misal. ha’m tuwri siziqlardin’ o’zara parallelligi yamasa perpendikulyarlig’in tekserin’.
Sheshiliwi. Bul jerde , , , . ha’m qatnaslarin salistiramiz:

Demek, berilgen tuwri siziqlar o’z ara parallel
3-misal. Ten’lemeleri:
ha’m
bolg’an eki tuwri arasindag’i mu’yeshti aniqlaw kerek.
Bul jag’day ushin (1) formulani qollanamiz:
.
Demek, .
Da’slep (2), yag’niy formulasin qollaniw da biz payda etken na’tiyjege alip keledi:

Demek, .
4-misal. Ten’lemeleri:
ha’m
bolg’an eki tuwri arasindag’i mu’yeshti aniqlaw kerek. Belgili (1) formulag’a muwapiq:

Tablicadan din‘ ma’nisin tabamiz. Sonda boladi.
5-misal. Mina:
ha’m
tuwrilari berilgen. Olardin’ arasindag’i mu’yeshti aniqlan’.
Biz bul esapti formuladan paydalanip shig’aramiz:

Tablicadan din’ ma’nisin tapsaq, ol qa ten’ boladi.
Berilgen tochka arqali o’tiwshi o’tiwshi ha’m berilgen tuwrig’a parallel yamasa berilgen tuwrig’a perpendikulyar tuwrinin’ ten’lemesin du’ziw ma’seleleri
Joqarida ko’rip o’tilgen eki tuwrinin’ parallellik ha’m perpendikulyarliq sha’rtleri bizge berilgen bazi bir M(x₁;y₁) tochaksinan o’tip, berilgen bazi bir tuwrisinda parallel yamasa perpendikulyar bolg’an tuwrinin’ ten’lemesin du’ziwge imkaniyat beredi. Onin’ ushin berilgen tochkasinan o’tiwshi da’stenin’

ten’lemesindegi din’ ornina berilgenge parallel bolg’an tuwrinin’ ten’lemesin du’ziw kerek bolg’an jag’dayda, berilgen ten’lemenin’ mu’yesh koefficenti k ni, al berilgenge perpendikulyar bolg’an jag’dayda din’ ornina di qoyiwg’a boladi.
6-misal. Berilgen M(3;-2) tochkasi arqali o’tiwshi ha’m tuwrisina parallel tuwrinin‘ ten’lemesin du’ziw kerek bolsin.
Berilgen jag’day ushin M tochkasi arqali o’tiwshi tuwrilardin’ da’stesinin’ ten’lemesin jazamiz: (x-3). Eki tuwrinin’ parallelik sha’rti boyinsha . Sonliqtan, izlengen ten’leme mina ko’riniske iye boladi:
, yaki
7-misal. Berilgen M(-2;1) tochkasi arqali o’tiwshi ha’m tuwrisina perpendikulyar tuwrinin‘ ten’lemesin du’ziw kerek bolsin.
Bul jag’day ushin M(-2;1) tochkasi arqali o’tiwshi tuwri siziqlar da’stesinin’ ten’lemesi mina tu’rde jaziladi:
.
Perpendikulyarliq sha’rtke sa’ykes bunda boliwi tiyis. Somliqtan, tuwrinin’ izlengen ten’lemesi:
, yaki
boladi
Eger tuwri tu’rindegi uliwma ten’lemesi menen berilse, onda og’an parallel tuwrinin’ ten’lemesin du’ziw talap etilgen jag’dayda da’stenin’ ten’lemesinde dep aliw jetkilikli. Misallar keltiremiz.
1-misal. Berilgen M(-4;3) tochkasi arqali o’tiwshi ha’m tuwrisina parallel bolg’an tuwrinin’ ten’lemesin du’zin’.
Sheshiliwi.

Berilgen ten’lemede , sonliqtan parallellik sha’rtke muwapiq dep alamiz. Demek,
, yaki
boliwi kelip shig’adi.
2-misal. Berilgen M(-1;2) tochkasi arqali o’tiwshi ha’m tuwrisina perpendikulyar bolg’an tuwrinin‘ ten’lemesin du’zin‘.
Sheshiliwi.

Berilgen ten’lemede . Perpendikulyarliq sha’rtke muwapiq boladi. Sonliqtan izlengen tuwrinin‘ ten’lemesi mina ko’riniske iye boladi:
, yaki
Endi bul eki ma’seleni uliwma tu’rde sheshiyik.
I-jag’day. Berilgen tochkasi arqali o’tiwshi ha’m
Ax+By+C=0 (1)
tuwrisina parallel bolg’an tuwrinin‘ ten’lemesin du’ziw kerek.
Berilgen tochkasinan o’tiwshi tuwri siziqlar da’stesinin’ ten’lemesi:
. (2)
Bul da’stenin’ tuwrisi (1) tuwrig’a parallel boliwi ushin boliwi sha’rt. Demek,

bunnan:
(3)
Bul berilgen tochka arqali o’tiwshi ha’m berilgen tuwrig’a parallel bolg’an tuwrinin‘ uliwma jag’daydag’i ten’lemesi bolip esaplanadi.
II-jag’day. Berilgen tochkasi arqali o’tiwshi ha’m
(4)
tuwrisina perpendikulyarlar bolg’an tuwrinin’ ten’lemesin du’ziw kerek.
Berilgen tochkasinan o’tiwshi tuwrilar da’stesinin’ ten’lemesinen ibarat (2) ten’lemedegi din’ ornina perpendikulyarliq sha’rtke muwapiq ni qoyamiz. Sonda (2) ten’lemeni bilay jaziwg’a boladi:
(5)
bunnan:
yamasa (6)
Bul berilgen tochka arqali o’tiwshi ha’m berilgen tuwrig’a perpendikulyar bolg’an tuwrinin’ uliwma jag’daydagi ten’lemesibolip tabiladi.
Berilgen tochka arqali o’tiwshi ha’m berilgen eki tochkani tutastiriwshi tuwrig’a parallel yamasa perpendikulyar bolg’an tuwrinin’ ten’lemesin du’ziw ma’selesi
Da’slepki berilgen M(m;n) tochkasi arqali o’tiwshi ha’m menen tochkalaarin tutastiriwshi tuwrig’a parallel bolg’an tuwrinin’ ten’lemesin du’ziwdi qarap o’temiz. M tochkasi arqali o’tiwshi tuwri siziqlar da’stesinin’ ten’lemesi bul jag’day ushin mina ko’rinisti iyeleydi:
(1)
Biz bul formuladag’i k nin’ ma’nisin (1) formulag’a qoysaq, to’mendegi an’latpani payda etemiz:

yamasa

bunnan
(2)
Endi M tochkasinan o’tiwshi ha’m AB tuwrisina perpendikulyar bolg’an tuwrinin’ ten’lemesin keltirip shig’aramiz. Perpendikulyarliq sha’rtke muwapiq k nin’ ornina ma’nisin qoyiw kerek, sonda:

yamasa
(3)
ten’lemesine iye bolamiz.
Demek, (2) ha’m (3) formulalar sa’ykes tu’rde berilgen tochka arqali o’tiwshi ha’m berilgen eki tochkani tutastiriwshi tuwrig’a parallel yamasa perpendikulyar bolg’an tuwrinin‘ ten’lemelerin an’latadi. Misallar keltiremiz.
1-misal. Berilgen M(2;3) tochkasi arqali o’tiwshi ha’m A(3;-1) menen B(-1;4) tochkalarin tutastiriwshi tuwrig’a parallel bolg’an tuwrinin‘ ten’lemesin du’ziw kerek. Shig’arilg’an (2) formulani qollanamiz:


bunnan:
5x+4y-22=0
2-misal. Berilgen M(1;3) tochkasi arqali o’tiwshi ha’m A(3;-1) menen B(-2;2) tochkalarin tutastiriwshi tuwrig’a perpendikulyar bolg’an tuwrinin‘ ten’lemesin du’ziw kerek. Biz formulasinan paydalanamiz. Sonda bizlerde:

yamasa:

boladi.
Eki tuwri arasindag’i mu’yesh
Tegisliktegi eki tuwri arasindag’i mu’yesh dep, olardin‘ birewinin‘ qa’legen bag’itlawshi vektori menen ekinshinin‘ qa’legen bag’itlawshi vektori arasindag’i mu’yeshke aytamiz. Bul aniqlama bizge bir-biri ge toliqtiriwshi eki mu’yeshti, yag’niy eki kesiliwshi tuwrilardan jasalg’an eki qon’silas muyeshti beredi.
Meyli tuwri mu’yeshli koordinatalar sistemasinda ha’m tuwrilari o’zinin‘ uliwma ten’lemesi menen berilgen bolsin:
: (1)
: (2)

Bul tuwrilardin‘ bag’itlawshi vektori ; . Olar arasindag’i mu’yeshinin‘ kosinusi to’mendegi formula boyinsha aniqlanadi:
(3)
Eger bolsa, onda ha’m tuwrilari arasindag’i mu’yesh su’yir, al bolsa, ol mu’yesh dog’al boladi.
(4)
ten’ligi ha’m tuwrilarinin‘ perpendikulyarlig’inin‘ kerekli ha’m jetkilikli sha’rtin an’latadi. Eki tuwri arasindag’i mu’yeshti to’mendegishe de aniqlawg’a boladi.

ha’m tuwrilarinin‘ normal vektorlari Bul vektorlar arasindag’i mu’yesh ha’m tuwrilarinin‘ kesilisiwinen jaslg’an qon’silas mu’yeshlerinin‘ birewine ten‘ boladi.
Berilgen tochka arqali o’tiwshi tuwrilardin‘ ten’lemesi
Bunda berilgen M(x;y) tochkasi arqali o’tiwshi tuwrilardin‘ ten’lemesin du’ziw talap etiledi. Berilgen bir tochka arqali sheksiz ko’p tuwrilar ju’rgiziw mu’mkin. Demek, ma’sele bir emes, al sansiz, yag’niy sheksiz ko’p ma’jbu’riylerge iye boladi.
Tuwrinin‘ mu’yesh koefficentli
(1)
ten‘lemesi alamiz. Eger bul tuwri berilgen tochkasinin‘ koordinatalari ha’m (1) ten’lemeni qanaatlandiratug’in sha’rt, yag’niy:
(2)
Son’g’i ten’lemeden b ni aniqlasaq ha’m oni (1) ten’lemege qoysaq, keyin tiyisli tu’rlendiriwlerdi orinlasaq, onda
(3)
ten‘lemesine iye bolamiz. Bul na’tiyjege (1) ten’lemeden (2) ten’likti ag’zama-ag’za aliw tiykarinda da erisiwge boladi. Payda etilgen bul (3) ten’leme berilgen tochkasi arqali o’tiwshi tuwrilardin‘, yaki tuwri siziqlar da’stesinin‘ ten’lemesi dep ataladi. Tuwrilar da’stesinin‘ aniq bir tuwrisin saylap aliw ushin tochkasi, sonday-aq usi tuwrinin‘ mu’yesh koefficenti k beriliwi sha’rt, sonda, tek sonda g’ana ma’sele toliq aniqlang’an boladi.
Misal. Berilgen A (2;3) tochkasi arqali o’tiwshi ha’m OX ko’sherinin‘ on‘ bag’iti menen liq mu’yesh jasawshi tuwrinin‘ ten’lemesin du’ziw kerek.
Berilgen A (2;3) tochkasi arqali sheksiz ko’p tuwrilar o’tedi ha’m olardin‘ da’stesi

ten‘lemesi menen aniqlanadi. Bul qiyin emes, biz oni birden tabamiz. Biraq, olardin‘ ishinde tek bir tuwri g’ana OX ko’sherinin‘ on‘ bag’iti menen liq mu’yesh jasaydi. Demek, tuwrilardin‘ birewinin‘ g’ana mu’yesh koefficent boladi. k nin‘ bul ma’nisin (3) ten’lemege qoyamiz ha’m izlengen tuwrinin‘ ten’lemesiz payda etemiz:
yaki
boladi.
Berilgen eki tochka arqali o’tiwshi tuwrinin‘ ten’lemesi
Eki: ha’m tochkalari berilsin. Eki tochka tuwrinin‘ awhalin toliq aniqlay aladi, basqasha aytqanda, berilgen eki tochka arqali tek bir g’ana tuwri ju’rgiziwge boladi, buni biz bilemiz. Aldin’g’i paragrafta aytilg’ang’a tiykarlanip, birinshi tochkasi arqali o’tiwshi tuwrilardin‘ ten’lemesin
(1)
tu’rinde jazamiz. Bul da’stege tiyisli tuwrilardin‘ birewi, tek birewi g’ana tochkasi arqali o’tedi. Tek usi jag’dayda g’ana tochkasinin‘ koordinatalari - (1) ten’lemeni qanaatlandiradi, yag’niy
(2)
Demek,
(3)
Keyin k nin' aniqlang'an ma'nisin (1) ten'lemege qoyamiz:
(4)
Payda etilgen bul (4) ten’leme berilgen eki tochkadan o’tiwshi tuwrinin‘ ten’lemesi bolip esaplanadi. Ol:
(5)
Tu’rinde, yamasa ekinshi ta’rtipli diterminant ja’rdeminde:
(6)
turinde an’latiladi. Buni to’mendegi turde de jaziwg’a boladi:
(7)
Eger bazi bir u’shinshi tochkasi biz qarap otirg’an tuwrinin‘ u’stinde jaylassa, onda onin‘ koordinatalari (7) ten’lemeni qanaatlandiriwi sha’rt yag’niy
(8)
yamasa qatarlardin‘ ornin almastirg’annan keyin (8) ten’lik bilay jaziladi:
(9)
Bul bizge joqarida bayan etilgen u’shmu’yeshliktin‘ maydanin tabiwdag’i u’sh tochkanin‘ bir tuwrida jatiw sha’rtin beredi. Biraq aldin, biz bul na’tiiyjege basqasha talqillaw arqali eristik.
Endi misallardi qarap o’teyik.
1-misal. M (2;5) ha’m N (-3;1) tochkalari arqali o’tiwshi tuwrinin‘ ten’lemesin du’zin‘.
Bunda biz (6) formula boyinsha
yaki
ekenin tabamiz.
Diterminantti esaplap ha’m tiyisli a’piwayilastiriwlardi orinlag’annan keyin, biz minag’an iye bolamiz:

Ma’selenin’ sha’rtinde berilgen tochkalardin’ koordinatalarin payda etilgen ten’lemege qoyiw arqali olar ten’lemeni qanaatlandiratug’inina isenim payda etiwge boladi.
2-misal. A (-1;1), B (1;2) ha’m C (3;3) tochkalari bir tuwrida jatatug’inin tekserin’:
Sheshiliwi.

Bul u’sh tochkanin’ bir tuwrida jatiw sha’rtin beredi.
Joqarida shig’arilg’an eki tochka arqali o’tiwshi tuwrinin’ ten’lemesinen ibarat (7) formula tuwrinin’ kesindiler arqali an’latilg’an ten’lemesin an’sat keltirip shig’ariwg’a mu’mkinshilik beredi. Meyli, tuwri koordinata ko’sherlernin’ de kesip o’tedi deyik. Kesilisiw tochkalarin sa’ykes M ha’m N ha’ripleri menen belgileymiz ha’m OM= , ON=b ekenin aniqlaymiz. Sonda M ha’m N tochkalarinin’ koordinatalari bilay jaziladi:
ha’m
Joqarida (7) formulani qollasaq, onda MN tuwrisinin’ ten’lemesin bilay jaziw mu’mkin:

Bunnan mina an’latpani payda etemiz:

Eger dep alsaq ha’m ten’liktin’ eki bo’legin de ab g’a bo’lsek onda

boliwi kelip shig’adi.
Birinshi tuwridan ekinshi tuwrig’a shekemgi mu’yesh
Eger tegislikte birewdin‘ on‘ bag’iti berilgen bolsa, onda birinshi tuwridan ekinshi tuwrig’a shekemgi mu’yesh haqqinda aytiwg’a boladi. Birinshi tuwridan ekinshi tuwrig’a shekemgi mu’yesh degendi, biz bag’darlang’an tegisliktegi birinshi tuwrinin‘ qa’legen bag’itlawshi vektori arasindag’i mu’yeshke aytamiz. Usailay aniqlang’an mu’yesh qosiliwshisina shekemgi da’llikte aniqlanadi.

Birinshi tuwrinin‘ qa’legen bag’itlawshi vektorinin‘ abcissa ko’sherine qiyalaniw mu’yesh al ekinshi tuwirnin‘ tuwrinin‘ qa’legen bag’itlawshi vektorinin‘ Abcissa ko’sherine qiyalaniw mu’yeshin arqali belgileyik. Sonda birinshi tuwridan ekinshi tuwrig’a shekemgi mu’yesh barliq waqitta qosiliwshisina shekemgi da’llikte aniqlanadi. Sonliqtan

(1)
Meyli ha’m tuwrilari o’zinin’ uliwma tu’rdegi tenlemeleri menen berilgen bolsin:
: (2)
: (3)
Bul tuwrilardin’ bag’itlawshi vektorlari

Sonda

Bulardi to’bedegi (1) ge aparip qoysaq, to’mendegige iye bolamiz:



Egerde vektorlarinin’ birewin og’an qarama-qarsi vector menen almastirsaq, onda sinus ha’m kosinustin’ ekewinin’ de belgisi qarama-qarsig’a o’zgeredi, al birinshi tuwridan ekinshi tuwrig’a shekemgi mu’yeshtin’ tangensinin’ belgisi o’zgermeydi.
Egerde ha’m tuwrilari mu’yeshlik koefficent penen berilgen ten’lemeleri arqali berilse;
yamasa
bunda , onda

yag’niy

Egerde ha’m tuwrilari o’z-ara perpendikulyar bolsa, onda . Demek yamasa . Bul sha’rt eki tuwrinin’ perpendikulyarliq sha’rti boladi.

Paydalanilg’an a’debiyatlar:

1. М.Г.Галкиев Аналитикалик геометрия курсы. “Каракалпакстан” баспасы Нокис-1974
2. Н.В.Ефимов Краткий курс аналитической геометрии. Главная редакция физико-математической литературы Москва-1975
3 Narmanov A.Ya. Analitik geometriya. O’zbekiston Respublikasi faylasuflar milliy jamiyati nashriyot. Toshkent-2008
4. Д.В.Клетеник Сборник задач по аналитической геометрии. Главная редакция физико-математической литературы Москва-1980

Perevod
1199. Cilindrdin’ ten’lemesin du’zin’, oni du’ziw ushin berilgen ten’lemeler ha’m shinliqqa barar tegisligine perpendikulyar qa’liplessin.

1200. Generatorlari tegislikke perpendikulyar bolg’an cilindr ten’lemesi menen shar atirpinda su’wretlengen. Usi cilindrdin’ ten’lemesin du’zin’.
1201. Generatorlari , tuwri siziqqa parallel bolg’an cilindr ten’lemesi menen shar a’tirapinda su’wretlengen. Usi cilindrdin’ ten’lemesin du’zin’.
1202. S noqattan o’tken domalaq cilindrdin’ ten’lemesin du’zin’, eger onin’ oqlari to’mendegi tuwri siziqlar bolsa
1203. Eki shar arasinda ko’rsetilgen cilindrdin’ ten’lemesin du’zin’: .