Курс лекций по дисциплине «Компьютерное моделирование». Рассмотрены основные понятия курса, этапы построения

 
5.3. Вычисление интегралов по методу Монте-Карло 
Во многих задачах исходные данные носят случайный характер, поэтому 
для их решения должен применяться статистико-вероятностный подход. На 
основе таких подходов построен ряд численных методов, которые учитывают 
случайный характер вычисляемых или измеряемых величин. К ним 
принадлежит и метод статистических испытаний, называемый также методом 
Монте-Карло, который применяется к решению некоторых задач 
вычислительной математики, в том числе и для вычисления интегралов. 
Метод Монте-Карло состоит в том, что рассматривается некоторая 
случайная величина ξ, математическое ожидание которой равно искомой 
величине х: 
𝜉𝜉 =
𝜉𝜉
1
+ 𝜉𝜉
2
+ ⋯ 𝜉𝜉
𝑛𝑛
𝑛𝑛
≈ 𝑥𝑥. 

Проводится серия n независимых испытаний, в результате которых 
получается (генерируется) последовательность n случайных чисел ξ
1
, 
ξ
2
,…, 
ξ
n
, и по совокупности этих значений приближенно определяется искомая 
величина 
𝑀𝑀
𝜉𝜉
= 𝑀𝑀 �1/𝑛𝑛 � 𝜉𝜉
𝑖𝑖
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
� =
1
𝑛𝑛 𝑀𝑀 � 𝜉𝜉
𝑖𝑖
=
𝑛𝑛𝑥𝑥
𝑛𝑛 = 𝑥𝑥.
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
 
44 

---

Интегрирование одномерных интегралов 
Интегрирование одномерных определенных интегралов методом Монте-
Карло производится по изложенному ниже алгоритму. 
𝑰𝑰 = � 𝒇𝒇(𝒙𝒙)𝒅𝒅𝒙𝒙 =
𝒃𝒃 − 𝒂𝒂
𝒏𝒏 � 𝒇𝒇
(𝒙𝒙
𝒊𝒊
),
𝒏𝒏
𝒊𝒊=𝟏𝟏
𝒃𝒃
𝒂𝒂
 
где x
i
- 
равномерно распределенная случайная величина; f(x) – 
подынтегральная функция; n - количество случайных аргументов x
i
; 
b и a- 
верхний и нижний пределы интегрирования. В Маткаде имеется встроенная 
функция rnd(x), возвращающая равномерно распределенную случайную 
величину в диапазоне 0 - x. Для решения задач методом Монте-Карло 
необходимо составить программу с использованием этой функции. 
ПРИМЕР 5.1 
Вычислить методом Монте-Карло приведенный ниже интеграл. 
Приведено решение численным методом и методом Монте-Карло, 
�
√𝑥𝑥
3
+ 2𝑥𝑥 + 8
5
√𝑥𝑥
5
+ 3𝑥𝑥
4
+ 8𝑥𝑥 + 9
3
𝑑𝑑𝑥𝑥
2
0
Решение: 
Выберем N=1000000 
Ответ: W=1,142. 
W
y
0
←
x
rnd 2
( )
←
y
y
5
x
3
2 x
⋅
+
8
+
3
x
5
3 x
4
⋅
+
8 x
⋅
+
9
+
+
←
W
y 2
⋅
N
←
i
1 N
..
∈
for
:=
45 

---

ПРИМЕР 5.2 
Вычислить методом Монте-Карло интеграл 
𝑦𝑦 = � (𝑥𝑥
2
+ 3𝑥𝑥 + 8)𝑑𝑑𝑥𝑥
10
−3
 
Задача отличается от предыдущей тем, что нижний предел не равен нулю, 
а функция rnd(х) вычисляет случайные числа в пределах 0-х. Поэтому здесь 
вычисляются два интеграла. 
Решение: 
Выбираем m=1000000.