Kursida sonlar ustida turli amallar qaraladi

Maktab matematika kursida sonlar ustida turli amallar qaraladi: qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish va bo'lish kabilar. Sonlar ustida har bir operatsiyani bajarish natijasida yana sonlar hosil bo'ladi. Masalan: 5+9= 14 , 5 • 9 = 45. 5-9 amali natijasi esa natural sonlar to‘plamida aniqlangan emas. Agar bu amal (ayirish) butun sonlar (Z ) to'plamida berilsa, aniqlangan, ya’ni 5-9=-4 . Nihoyat, 5:9 esa Q to‘plamda aniqlangan. Demak, har bir operatsiyani bajarishda ikkita element uchun shu to‘plamdan uchinchi elementni topish kerak ekan. Boshqacharoq qilib aytganda, biror X to‘plamdan olingan har bir tartiblangan juftga shu to‘plamdan bitta element mos keltirildi. Bunday moslik algebraik operatsiya deyiladi.
1-t a ’ rif. Agar X to'plamdan olingan har bir (x;y) juftlikka yana shu to ‘plamdan z element mos kelsa, и holda bu moslik X da berilgan binar algebraik operatsiya deyiladi.
2-t a ’ r i f. Agar X to‘plamdan olingan ba ’zi (x; y) — juftliklarga shu to'plamdan bitta z element mos kelsa, и holda bu moslik qisman algebraik operatsiya deyiladi.
3-t a ’ r i f. X to‘plamda algebraik operatsiya berilgan bo‘lsin. Agar X to'plamning biror A qism to'plamidan olingan ixtiyoriy (x;y) juftlikka mos z ham A ga tegishli bo‘lsa, A to‘plam berilgan algebraik operatsiyaga nisbatan yopiq deyiladi.

1. 
   Algebraik operatsiya xossalari. X to'plamda * va • al­ gebraik operatsiyalari berilgan bo'lsin.
   

4-ta’rif. Agar X to‘plamdan olingan istalgan x, y, z element­ lar uchun (x*y)*z = x*(y*z) shart bajarilsa, и holda «*»
operatsiyasi assotsiativ deyiladi, ya’ni (x* y)* z= x*(y*z).
Masalan, «+» operatsiyasi TVda assotsiativ algebraik operatsiya- dir. Chunki (Va, b, cEN)((a + b) + c = a + (b + с)).
Shu kabi to'plamlaming birlashmasi, kesishmasi, mulohaza va predikatlar dizyunksiyasi va konyunksiyasi ham assotsiativ al­ gebraik operatsiya bo'ladi.
Agar algebraik operatsiya assotsiativlik xossasiga ega boisa, faqat shu operatsiya qatnashgan ifodalami qavslarsiz yozish mum­ kin: (a*b)*c = a*(b*c) = a*b*c.
5-t a ’ r i f. Agar X dan olingan istalgan x, у elementlar uchun x*y = y*x shart bajarilsa, и holda (*) operatsiyasi kommutativ deyiladi. Qisqacha: (x* y = y*x) kabi yoziladi. Masalan, (+ ) operatsiyasi kommutativdir, chunki (a + b = b + a).
6-t a ’ r i f. Agar X dan olingan istalgan x, y, z elementlar uchun x*( yz) = (x*j>)•(**£) shart bajarilsa, и holda (*) operatsiya (•) ga nisbatan distributiv deyiladi. Qisqacha (Vx, y, zEX) (x*(^*^)= = (x*}>)»(x*z)) yoziladi.
Masalan, N da ko'paytirish qo'shishga nisbatan distributiv bo'ladi. Haqiqatdan (Vo, b, c E N ) (a •(b + c) = a - b + a - c).
7-t a ’ r i f. Agar X dan olingan istalgan x, у lar uchun shunday bir a ϵ X topilib, x*a = y*a dan x = у kelib chiqsa, и holda (*) operatsiya qisqaruvchati deyiladi. Qisqacha: (Vx, у EX, 3 a EX) (a*x = a*y=>x = y) kabi yoziladi.
Masalan, a + x = a + у =>x = у demak, «+» qisqaruvchan operatsiya.

2. 
   Algebraik operatsiyaning neytral, simmetrik, yutuvchi ele­ mentlari.
   

8-t a ’ r i f. Agar istalgan x E X uchun shunday e E X topilsaki, na­ tijada xTe - e T x - x shart bajarilsa, и holda e shu «Т» operatsiyasi uchun neytral element deyiladi. Qisqacha {Vx EX, 3 eEX)(x Te = eTx = x) kabi yoziladi.
9 - t a ’ rif. Agar X to'plamda berilgan (*) operatsiyaga nisba­ tan e E X neytral element bo ‘Isa va x * x = x * x = e shart bajarilsa, и holda x E X simmetrik element deyiladi.
Masalan, - a element a ga qo'shishga nisbatan simmetrik bo'ladi, chunki a + ( -a ) = 0.
10 - t a’ rif. Agar X to'plamda berilgan (*)ga nisbatan a* e=
=e * a=e shart bajarilsa, и holda e — yutuvchi element deyiladi.
Masalan, 0 element ko‘paytirishga nisbatan yutuvchidir.

3. 
   Gruppa, halqa va maydon tushunchalari.
   

11-ta ’ rif. Agar X to ‘plamda binar algebraik operatsiya beril­ gan bo'lsa, и holda X to'plam gruppoid deyiladi.
12-t a ’ г i f. Assotsiativ operatsiya berilgan gruppoid assotsiativ,
kommutativ operatsiya berilgan gruppoid kommutativ gruppoid deyi­ ladi.
13 - t a’ rif. Agar gruppoid assotsiativ bo'lsa, и holda yarim gruppa deyiladi.
14-t a ’ r i f. Agar neytral elementga ega bo 'Igan A yarim grup- pada istalgan a€LA uchun simmetrik element mavjud bo 'Isa, и holda A to ‘plam gruppa deyiladi.
Mi s o l . Z to‘plam qo'shishga nisbatan gruppa tashkil qiladi.
Haqiqatan ham:

1. 
   Z da «+» assotsiativ algebraik operatsiya.
   
2. 
   OeZ, «+» uchun neytral element mavjud.
   
3. 
   Simmetrik element ham mavjud, a + ( - 0 ) = 0.
   

15-t a ’ r i f. G to 'plam «*» operatsiyasiga nisbatan gruppa bo 'Isa va a*b = b*a shart bajarilsa, и holda G kommutativ yoki Abel gruppasi deyiladi.
16-t a ’ r i f. Agar X to 'plamda ikkita binar algebraik operatsiya
(+ , *) berilgan bo'lib, quyidagi shartlar bajarilsa:

1. 
   X qo 'shishga nisbatan kommutativ gruppa;
   
2. 
   ко 'paytirish qo 'shishga nisbatan distributiv, ya ’hi a(b + c) =
   

= a*b + a*c, (b + c)*a = b*a + c*a bo 'Isa, и holda X to 'plam halqa
deyiladi.
Mi s o l . Z to‘plam halqadir. Chunki:

1. 
   Z da qo‘shish va ko‘paytirish algebraik operatsiya;
   
2. 
   Z qo'shishga nisbatan kommutativ gruppa;
   
3. 
   Z da ko'paytirish qo'shishga nisbatan distributiv.
   

17-t a ’ rif. Agar M halqaning noldan tashqari barcha element­ lari ко 'paytirishga nisbatan kommutativ gruppa tashkil qilsa, и holda M maydon deyiladi.
Mi s o l . Q ratsional sonlar to'plami maydondir. Chunki:

1. 
   Q halqa kommutativ.
   
2. 
   Ko'paytirishga nisbatan kommutativ gruppa (nolsiz).