Курсовая работа по теме: уравнения параболического типа. Вывод уравнения теплопроводности студент: Азимов Шохижахон

УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА. ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

(ОДНОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ) Уравнения параболического типа наиболее часто встречаются при изучении процессов теплопроводности и диффузии. К этим уравнениям приводятся также задачи о движении вязкой жидкости, например, нефти. Обсудим процесс распространения тепла в неравномерно нагретом твердом теле. Если тело нагрето неравномерно, то в нем происходит передача тепла из мест с более высокой температурой в места с более низкой температурой. Процесс может быть описан функцией u = u (t,z,y,x), дающей температуру u в каждой точке M (z,y,x) тела и в любой момент времени t . Примем следующую модель процесса: происходит механический перенос тепла от более нагретых частей тела к менее нагретым; все тепло идет на изменение температуры тела; свойства тела от температуры не зависят. Идеализация явления состоит в том, что мы будем изучать процесс, не касаясь его молекулярной природы, а также иных проявлений. Опишем процесс математически для одномерного тела.

Рис. 1
Рассмотрим однородный стержень длины l , теплоизолированный с боков (через поверхность не происходит теплообмена с окружающей средой) и достаточно тонкий, чтобы в любой момент времени температуру во всех точках поперечного сечения можно было считать одинаковой. Расположим ось Ox так, чтобы один конец стержня совпадал с точкой x = 0, а другой - с точкой x = l (рис. 1).

Чтобы найти функцию u = u (t,x), надо составить дифференциальное уравнение, которому она удовлетворяет.
При выводе дифференциального уравнения теплопроводности воспользуемся следующими физическими закономерностями, связанными с распространением тепла. 1. Количество тепла ∆Q , которое необходимо сообщить однородному телу, чтобы повысить его температуру на ∆u , равно ∆Q = cm∆u , (1).
где c - удельная теплоемкость, m - масса тела. Для стержня имеем
∆Q = cρS∆x∆u , (2).
где ρ - плотность материала стержня; S - площадь его поперечного сечения. 2. Перенос тепла в теле подчиняется эмпирическому закону Фурье: количество тепла ∆Q , протекающее за время ∆t через площадку ∆S в направлении нормали n к этой площадке, равно,
(3).
где k - коэффициент внутренней теплопроводности (зависит от точки и не зависит от направления, если тело изотропно).
(4).
Для стержня имеем, где коэффициент k будем считать постоянным в силу предположения о его однородности. Если стержень неоднороден, то k = k(x).
3. Если внутри тела есть источники тепла, то выделение тепла можно характеризовать плотностью тепловых источников, т.е. количеством выделяемого (или поглощаемого) тепла в единицу времени в единице объема. Обозначим через F( t,x ) плотность источников в точке x рассматриваемого стержня в момент t . Тогда в результате действия этих источников на участке ( x,x + ∆x) за промежуток ∆t будет выделено количество тепла
∆Q = F( t,x )S∆x∆t. (5).
И, наконец, воспользуемся законом сохранения энергии. Итак, приступим к выводу уравнения. Выделим элементарный участок стержня, заключенный между сечениями x = x1 и x = x2 (x x x) 2 − 1 = ∆ , и составим уравнение теплового баланса на отрезке [ ] x1 x, 2 . Так как боковая поверхность стержня теплоизолирована, то элемент стержня может получать тепло только через поперечные сечения. Согласно количество тепла, прошедшее через сечение x = x1 , равно
(6).
Через сечение
(7).
Найдем приток тепла в элемент стержня
(8).
(К разности частных производных применена теорема Лагранжа).
Кроме того, в результате действия внутреннихисточников тепла на этом участке в течение времени выделится количество тепла согласно.
(9).
Все тепло за времени пойдет на изменение температуры выделенного элемента стержня на величину . И поэтоу сообшенное количество тепла , с другой стороны, может быть найдено согласно формуле
(10).
В силу закона сохранения энергии имеем равенство
b (11).
Сокрашая на обший множитель , получим уравнение
+ (12).
Введя обозначения придем к уравнению
(13).
Это и есть искомое дифференциальное уравнение распространения тепла в однородном стержне. Уравнение называют уравнением теплопроводности, в котором постоянную называют коэффициентом температуропроводности. Коэффициент имеет разметность
Уравнение является линейным неоднородным уравнением параболического типа.
Вывод дифференциального уравнения распространения тепла внутри тела, отнесенного к пространственной системе координат, основан на тех же физических законах. Поэтому, ограничившись выводом уравнения для простейшего случая – одномерного, лишь приведем уравнение для трехмерного пространства.
Процесс распределения температуры в изотропном теле описқвается уравнением
(14).
Которое кратко записывается так:

Где оператор Лапласа
Уравнение описывает также процессы диффузии, где u - концентрация диффундирующего вещества, и другие