Курсовая работа представлено: Асетова. Л получил: Сейдуллатев. К

Пример 5. На ориентированной плоскости задан невырожденный ориентированный треугольник . Пусть — произвольная точка плоскости. Числа
, ,
называются барицентрическими координатами точки относительно ориентированного треугольника. Если точка лежит внутри треугольника , то все треугольники

, , ,
имеют одинаковую ориентацию и, значит, все числа , , и имеют один и тот же знак; поэтому для любой точки , лежащей внутри треугольника , имеем Если точка переходит через какую-нибудь одну из сторон треугольника , то соответствующая барицентрическая координата меняет знак; например, для всех точек области, ограниченной отрезком и продолжениями отрезков за точки , имеем . Наконец, если точка лежит на одной из прямых или , то соответствующая барицентрическая координата равна нулю.
На рисунке 45 показано распределение знаков барицентрических координат точки в зависимости от ее положения относительно прямых ,


(стороны изображены в виде полос). Если вершины невырожденного ориентированного треугольника заданы относительно общей декартовой системы координат A(x₁,y₁), В(x₂,у₂), C (x₃, у₃), а точка имеет координаты то

и, вычисляя , можно по их знакам (без чертежа) определить расположение точки относительно треугольника .

Пример 6. Относительно общей декартовой системы координат заданы четыре точки A (x₁, y₁), В (x₂, y₂), С (x₃, y₃), D(x₄, y₄), При каком необходимом и достаточном условии эти четыре точки могут служить вершинами выпуклого четырехугольника?
Решение. Это будет тогда и только тогда, когда треугольник невырожденный, а точка находится с одной из трех областей, каждая из которых ограничена стороной треугольника и продолжениями двух других за граничные точки этой стороны Пусть — барицентрические координаты точки относительно треугольника . Только одно из чисел должно быть отрицательно, а два других — положительны. Значит, искомое необходимое и достаточное условие , или

2. Задачи для самостоятельного решения

1. Доказать, что если — четыре произвольные точки, лежащие на оси, то
+ + =0 .
2. Точки делят невырожденный направленный отрезок в отношениях, соответственно равных В каком отношении точки делят отрезок ?
отв. , .
3. Точки делят невырожденный отрезок в отношениях, соответственно равных . В каком отношении точка делит отрезок
отв. .
4. Точки делят невырожденный направленный отрезок в отношениях, соответственно равных . Пусть — середина отрезка . В каком отношении точка делит отрезок (
отв. .

5. В точках с координатами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 помещены массы, соответственно равные 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Найти координату центра тяжести системы.

Отв 7.
6. На оси найти точку, равноудаленную от точки и от начала координат.
Отв
7. Найти точку , симметричную точке относительно прямой, проходящей через точки
Отв
Заключение

Получены наглядные геометрически точные [15] модели для всех вариантов теоремы Шаля. Модели потребовали выполнения сложных 3D геометрических построений.

Модели подтвердили выводы теоремы Шаля применительно к основным вариантам его теоремы. Однако применительно к каркасному тетраэдру нами получен вывод, отличающийся от выводов Шаля. Доказательство теоремы Шаля найдено только для первого и второго вариантов теоремы. Возника- ет задача найти доказательства для всех вариантов или найти универсальное доказательство теоремы. Доказательство и визуализация теоремы Шаля яв- ляется актуальной познавательной задачей.Отмеченная выше аналогия между теоремами Шаля и Паскаля позволяет предположить, что тео- рема Шаля может иметь такое же значение в гео- метрическом моделировании, как и теорема Паскаля.
Приведенные модели будут включены в каче стве актуальных и одновременно исторических задач в новый учебный курс теоретических основ 3D-компьютерного геометрического моделирова ния. Курс предназначен для студентов инженер- ных специальностей как альтернатива начерта тельной геометрии [21].
Литература

1. Шаль, М. Примечание ХХХII. Теоремы о по- верхностях второго порядка, соответствующие Теоремам Паскаля и Брианшона в конических сече ниях / М. Шаль // Исторический обзор происхожде ния и развития геометрических методов. История геометрии. Примечания. М., 1883. Т. 2.428 с.

2. Мордухай-Болтовской, Д.Д. Трёхмерный и четырёхмерный аналогон теоремы Паскаля / Д.Д. Мордухай-Болтовской // Успехи математи- ческих наук. 1953. Том VIII, вып. 2 (54). С. 135-138. - hup://mi.mathnet.ru/uтп8192

3. Пеклич, В.А. Начертательная геометрия В.А. Пеклич М.: Изд-во АСВ, 2007. 267 с. / 4. Четверухин, Н.Ф. Начертательная гео- метрия / Н.Ф. Четверухин и др. - М.: Высшая

школа, 1963. 420 с. 5. Иванов, Г.С. Начертательная геометрия /

Г.С. Иванов.- М.: Машгиз, 1995. 223 с. 6. Иванов, Г.С. Теоретические основы на чертательной геометрии / Г.С. Иванов.- М.: Машиностроение, 1998.- 156 с.

7. Четверухин. Н.Ф. Проективная геометрия / Н.Ф. Четверухин. М.: Просвещение, 1961- 360 р. 8. Глаголев, Н.А. Проективная геометрия Н.А. Глаголев и др. М.: Высшая школа, 1963. 344 с.

9. Шаль, М. Исторический обзор происхожде

ния и развития геометрических методов. История

геометрии / М. Шаль, М., 1883. Т. 1.- 311 с. 10. Chasles. Géométrie de situation. Demoп- stration de quelques propriétés du triangle, de l’