Курсовая работа представлено: Асетова. Л получил: Сейдуллатев. К

ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ
Полярная система координат на плоскости

Рис. 38

Рис. 39
Говорят, что на плоскости введена полярная система координат, если эта плоскость ориентирована, на ней выбраны точка - полюс, луч , выходящий из точки — полярная ось и масштабный отрезок.
Пусть — произвольная точка плоскости, не совпадающая с полюсом (рис. 38).
Первой полярной координатой точки , или полярным радиусом, называется расстояние от точки до полюса . Второй полярной координатой точки , или амплитудой, называется угол φ от полярной оси (от луча ) до луча .
Для полюса считают —любое число.
В некоторых вопросах (например, при задании линии полярным уравнением) удобно полярному радиусу приписывать знак; именно считают , если амплитуду измеряют от полярной оси до луча, который получается продолжением луча за точку .
Полярные координаты в случае, если для первой координаты допускаются и отрицательные значения, называются обобщенными полярными координатами.
Пусть на плоскости введена полярная система координат. Введем декартову прямоугольную систему координат, принимая полюс за начало координат, и за положительную полуось —полярную ось. За ось примем ось, которая получается поворотом оси вокруг точки на угол , т. е. положительное направление на оси выбирается таким, чтобы угол от оси до оси был равен Масштабный отрезок полярной системы координат примем и за масштабный отрезок декартовой системы (рис. 39). Пусть — полярные координаты произвольной точки плоскости, не совпадающей с полюсом, а —ее декартовы прямоугольные координаты в указанной выше системе.
По определению тригонометрических функций имеем



откуда

Так как (2)
То
Формулы (1) позволяют вычислить декартовы прямоугольные координаты точки по ее полярным координатам . Формулы (2) и (3) позволяют вычислить полярные координаты точки по ее декартовым координатам .
Отметим, что формулы (1) верны и для обобщенных полярных координат (т. е. для радикала во всех формулах (2) и (3) можно брать и отрицательное значение).
Полярная система координат в пространстве. Полярные и сферические координаты
Рассмотрим в пространстве ориентированную плоскость П. Пусть -ось, перпендикулярная плоскости П и пересекающая
ее в точке , а —луч, лежащий в плоскости П и выходящий из точки . Выберем масштабный отрезок.
Ориентированная плоскость П называется экваториальной, ось —зенитной, луч —полярной осью, а точка — полюсом.

Рис 40
Совокупность этих элементов называется полярной системой координат в пространстве (рис. 40).

Рис 41
Цилиндрическими координатами точки , не лежащей на зенитной оси, называется упорядоченная тройка чисел , где полярные координаты ортогональной проекции точки на экваториальную плоскость (в полярной системе экваториальной плоскости с полюсом , полярной осью и выбранной еди ницей масштаба), a —координата на зенитной оси проекции точки на зенитную ось (рис. 41). Для точек зенитной оси считают любое число, а определяется так, как указано выше.
Заметим, что при помощи цилиндрических координат не устанавливается взаимно однозначного соответствия между множеством всех точек пространства и множеством упорядоченных троек действительных чисел.
Сферическими координатами точки , не лежащей на зенитной оси, называется упорядоченная тройка чисел 0, где — длина отрезка ,
угол от полярной оси до луча
( —проекция на экваториальную плоскость), a — угол между лучами , который принимает значения в интервале , , причем считается, что , если точка M лежит в экваториальной плоскости, если луч образует острый угол с зенитной осью, и , если луч образует с зенитной осью тупой угол (рис. 42).
Если точка лежит на зенитной оси и не совпадает с полюсом ; то считают, что любое число, a или в зависимости от того, совпадает ли направление луча с направлением зенитной оси или противоположно ему. Для полюса считают , — любые числа. При помощи сферических координат не устанавливается взаимно однозначного соответствия между множеством всех точек пространства и множеством упорядоченных троек действительных чисел.
Пусть в пространстве введена полярная система координат. Введем еще декартову прямоугольную систему координат, принимая за положительную полуось полярную ось, за ось — ось, полученную из оси поворотом ее вокруг полюса в экваториальной плоскости на угол и
зенитную ось за ось (рис. 43). Пусть — проекция точки на экваториальную плоскость. Обозначая через длину отрезка , находим

C другой стороны, , значит,

Кроме того, ясно, что (1)
Формулы (1) верны и для того случая, когда точка лежит на зенитной оси и когда она совпадает с полюсом (при дополнительных соглашениях о величинах в этом случае).
По формулам (1) вычисляются декартовы прямоугольные координаты точки в случае, если известны ее сферические координаты.
Из формул (1) следует, что


откуда
значит

По этим формулам вычисляются сферические координаты точки , не лежащей на зенитной оси по ее декартовым прямоугольным координатам (при указанном взаимном расположении этих двух систем координат).
Замечание. Вторую сферическую координату часто называют долготой, третью — широтой. Иногда вместо широты рассматривают угол между положительным направлением зенитной оси и лучом , идущем из полюса в данную точку ; величина изменяется в пределах от до . Величина называется зенитным расстоянием.
Так κaκ — , то в формулах (1) и (2) (в случае, если за третью сферическую координату принимается зенитное расстояние) следует заменить соответственно на .