Курсовая работа представлено: Асетова. Л получил: Сейдуллатев. К

Теорема Шаля для ориентированных углов
Пусть — три луча, выходящие из точки , лежащие на ориентированной плоскости. Тогда

Доказательство. Предположим сначала, что лучи ,попарно различны и ни один из них не является продолжением другого. Обозначим через
соответственно главные значения углов
, и .
Случай 1. Луч проходит внутри угла
(рис. 31). Тогда сумма величины угла, образованного лучами , и величины угла, образованного лучами , равна величине угла, образованного лучами т. е.
.

Но так как углы , и имеют одинаковую ориентацию то

, —числа одного знака, а потому из последнего равенства
следует, что

и значить

Случай 2. Луч проходит внутри угла (рис. 32). Тогда, на основании уже доказанного

или

или

Случай 3, Луч проходит внутри угла (рис. 33). Тогда

Случай 4. Лучи попарно различны, ни один из них не проходит внутри угла, образованного двумя другими и ни один из них не является продолжением другого. В этом случае

причем числа и одного знака, a — число знака, им противоположного

(для случая, изображенного на рис. 34, α₁ > 0, α₂ > 0, α₃ < 0,

а для случая, изображенного на рис. 35, α₁ <0, α₂ < 0, α₃ > 0). Таким образом, имеет место одно из двух равенств:

или

Отсюда

Случай 5. Среди лучей есть совпадающие. Пусть,

например, совпадают лучи р и q. Тогда и,значит,

т. е.

А налогично доказывается это равенство в случае, если совпадают лучи . Если совпадают лучи то и значит,
опять
Случай 6. Один из лучей является продолжением другого. Пусть, например, луч
—продолжение луча . Тогда либо (рис. 36), либо
(рис. 37), значит, либо ,
либо .
Из обоих равенств следует, что

Следствие. Пусть — три луча,
имеющие общую точку и лежащие на
ориентированной плоскости. Тогда

Теорема 2 (теорема Шаля для прямых). Пусть — три прямые, лежащие на ориентированной плоскости и имеющие общую точку ; тогда

Доказательство. Пусть —соответственно лучи, лежащие на прямых и выходящие из точки . На основании теоремы Шаля для углов

следовательно,

Но так как какое-нибудь значение есть одно из значений угла , одно из значений есть одно из значений угла , а одно из значений
есть одно из значений угла , то из последнего соотношения следует, что