Квадрат тенгламалар

КВАДРАТ ТЕНГЛАМАЛАР

Хоразмий, квадрат тенгламаларни қуйидаги ҳолларга бўлади:

1. Хоразмий ёзади: «Квадрат, илдизларга тенг бўлган ҳол, масалан, квадрат ўзининг бешта илдизларига тенг бўлса, у вақтда бу квадратнинг илдизи бешга тенг бўлади, унинг квадрати йигирма бешга ёки бешта илдизга тенг бўлади». Яъни х²=5х, дан х=5 (x²=25). Биринчи ҳол учун берилган бу қоида яна қуйидаги мисоллар билан тушунтирилади:
х²=4x, x²=12x, x=12, (х²=144).
5х²=10x, x²=2x, x=2, (x²=4).
Бунда номаълумнинг квадратини топиш ҳам алоҳида таъкидлаб ўтилади.
2. „Квадратлар сонга тенг”, масалан, „агар сен айтсангки, квадрат тўққизга тенг, у вақтда тўққиз-квадрат ва унинг илдизи уч бўлади” деб ёзади Хоразмий. Яъни x²=9, x=3. Бу қоида билан яна шундай мисоллар ечилади:
5x²=80, x²=16, x=4.
x²=18, x²=36, x=6.
3. „Илдизлар сонга тенг” тенгламасининг ечилиши қуйидаги мисоллар билан тушунтирилади. Агар илдиз учга тенг бўлса, демак, илдиз уч ва унинг квадрати тўққиз бўлади, яъни x=3 (x²=9).
4х = 20, х = 5, (х² = 25).
х-10, х =20, (x²=400).
4. “Квадратлар ва илдизлар сонга тенг”, яъни ax²+bх=c шаклидаги квадрат тенгламани, масалан, x²+10x=39 ни ечиш учун Хоразмий шундай қоида беради: “Агар сен айтсангки, квадрат ва унинг ўнта илдизлари 39 дирҳамга тенг, у вақтда бунинг маъноси шуки, агар бирор квадратга унинг илдизларининг ўн баравари қўшилса, ўттиз тўққиз ҳосил бўлади”. Унинг қоидаси шундай: илдизлар сонини иккига бўл, бу масалада беш бўлади, уни ўз-ўзига кўпайтир, йигирма беш бўлади. Буни ўттиз тўққизга қўшсанг, олтмиш тўрт бўлади. Бундан илдиз чиқар, саккиз бўлади ва ундан илдизлар сонининг ярмини, яъни бешни айир, уч қолади мана шу сен излаган квадратнинг илдизи бўлади, квадрат эса тўққиз бўлади.
„Агар, — деб ёзади Хоразмий, — квадрат битта бўлмасдан, иккита, учта ва умуман кўп сонда бўлса, битта квадратга келтириш керак”. Бошқача айтганда, номаълумнинг юқори даражаси олдидаги коэффициентни бирга айлантириш керак. Бунинг учун тенгламанинг ҳар икки томонини квадратнинг коэффициентига бўлиб, ҳосил бўлган тенгламани юқорида баён этилган қоида бўйича ечиш керак. Масалан, 2x²+10x=48 тенгламани аввал x²+5x=24 шаклига келтириб, сўнгра юқорида баён этилган қоида бўйича ечиш керак.
Шундан сўнг Хоразмий ax²+bx=c шаклидаги квадрат тенгламани ечиш учун юқорида берилган қоидани геометрик усул билан исботлайди.
Квадрат тенгламаларга келтириладиган масалалар биринчи марта қадимги Бобилликлар томонидан ечилган. Бундай тенгламаларнинг сонли ечимларини аниқлаш қоидалари уларга маълум эди. Қадимги юнон математиклари бундай тенгламаларни «геометрик алгебра» ёрдамида ечганлар. Масалан, машҳур юнон геометри Евклид (эрамиздан олдинги III аср) ўзининг «Негизлар» асарининг иккинчи китобида квадрат тенгламаларни кесмалар ва юзлар ёрдамида геометрик усулда ечишн кўрсатади. Хоразмий эса Евклид фойдаланган шакллардан эмас, балки бошқа шакллардан фойдаланиб, иккинчи даражали тенгламаларни. ечишни ўз геометрик усуллари билан изоҳлайди. Масалан: x²+10x=39 ёки умумий ҳолда x²+bx=c шаклдаги тенгламани ечишни қуйидагича тушунтиради. (Буни ҳозирги белгилашларга асосан баён этамиз.)

1 - шаклда кўрсатилгандек, АВ квадратни олиб, уни x² билан белгиланади. Бу квадратнинг ҳар бир томонига баландлиги бўлган тўғри тўртбурчак ясалади. Бу шаклнинг қолган бурчакларида квадратлар ясалса, уларнинг томонлари дан бўлиб, ҳамма квадратлар юзларининг йиғиндиси = 25 га тенг бўлади.

Шундай қилиб, ҳосил қилинган катта квадратнинг томони х + га тенг, унинг юзи x²+4 x+25 йиғиндидан ёки x²+10x+25=39+25=64 дан иборат, яъни катта квадратнинг СЕ томони = 8 бўлади. Демак, x+ ёки x + 5 = 8, бундан х = 3. Номаълум „х” ни яна бундай ифодалаш мумкин:x+ = = .Бундан: x+10= ёки x=8-5=3. Бундан
x= .
Агар бу формула x²+bx=c тенгламага татбиқ этилса:
.
Хоразмий x²+bx=c тенгламани яна бошқа бир шакл билан тушунтиради: бунда АВ квадрат, яъни х² олинади, баландлиги 5 га тенг иккита тўғри тўртбурчак ясалади. Бу шаклни СЕ квадратга тўлдириш учун томони = 5 бўлган квадрат олинади. Катта СЕ квадратнинг юзи х²+10х+25=39+25=64 бўлади. Катта квадрат СЕ нинг томони эса x+5=8 бўлиб, бундан x=3 бўлади (2-шакл).
Хоразмий, квадрат тенгламаларни ечишда келиб чиқадиган манфий илдизларни эътиборга олмайди. Шуни қайд этиш керакки, Хоразмий асарларида сон тушунчаси, юнон математикларига қараганда анча кенг миқёсда қўлланилади, яъни унинг асарларида иррационал сонлар тушунчаси ҳам учрайди, аммо у манфий илдизларни қарамайди.
Шундай қилиб, ҳозирги белгилашларга асосан x²+bx+c=0 шаклида ёзиладиган квадрат тенгламанинг илдизларини топиш формуласи:
биринчи марта Хоразмий асарларида учрайди. Бунда у > бўлган ҳолда, масаланинг ечилиши мумкин эмас деб ёзади.
5. “Квадратлар ва сон илдизларга тенг”, яъни ax²+c=bx шаклидаги квадрат тенгламани, масалан, x²+21=10x ни ечиш учун Хоразмий шундай ёзади: “агар Сен айтсангки, квадрат ва йигирма бир дирҳам ўнта илдизларга тенг, у вақтда бунинг маъноси шуки, агар квадратга йигирма бир дирҳам қўшилса, ўнта илдиз ҳосил бўлади”.
Сўнгра қуйидаги қоидани баён этади, “Илдизлар сонини иккига бўл, 5 чиқади, уни ўз-ўзига кўпайтир, 25 бўлади, бундан 21 ни айир, 4 қолади. Бундан илдиз чиқар, икки бўлади. Буни илдизлар сонининг ярмидан, яъни бешдан айир, 3 қолади. Мана шу сен излаган квадратнинг илдизи бўлади.
Агар бу илдизни илдизлар сонининг ярмига қўшсанг, 7 бўлади, бу ҳам сен излаган квадрат тенгламанинг илдизи бўлади, квадратнинг ўзи эса 49 бўлади”.
Ҳозирги белгилашларига асосан бу жумлалар маъносини
формула билам ифодалаш мумкин.
„Қачонки сен шу ҳолга тўғри келадиган мисол учратсанг, аввал уни ечишни қўшиш билаи синаб кўр ва бу иш мақсадга олиб келмаса, у вақтда айириш албатта мақсадга олиб келади, чунки бу ҳолда ҳам қўшиш ва ҳам айиришни татбиқ этиш мумкин”. Хоразмий қўшиш ва айиришни татбиқ этиш бошқа ҳоллар учун, масалан, 4 ва 6 - шаклдаги ҳоллар учун татбиқ этилмайди, деб ёзади, чунки у вақтда манфий илдиз ҳам келиб чиқадики, бу ҳолни Хоразмий мумкин бўлмаган ҳол деб қарайди.
Хоразмий, агар тенгламадаги х² олдида коэффициент бўлса, аввал тенгламанинг ҳадларини у коэффициентга бўлиб, сўнгра айтилган қоида бўйича тенгламани ечиш мумкинлигини қайд этади.
Шундай қилиб, ax²+c=bx умумий шаклдаги тенгламани ечиш учун Хоразмийнинг қоидасини кўринишда ифодалаш мумкин.
Хоразмий шуни такидлайдики, агар бу ҳолда бўлса, масалани ечиш мумкин эмас,
агар = c бўлса, квадратнинг илдизи илдизлар сонининг ярмига, яъни га тенг бўлади ва >c бўлса иккита мусбат илдиз ҳосил бўлиши мумкин.
Шундан сўнг Хоразмий, ax²+c=bx шаклидаги квадрат тенгламани ечиш учун берган қоидасини геометрик усулда асослайди, биз буни ҳозирги белгилашларга асосан баён этамиз: x²+21=10x ёки x²+c=bx шаклидаги квадрат тенглама қуйидагича ечилади (3- шакл).

Квадрат АD ясалади, унинг томони иомаълум, бу “х” бўлсин. Квадрат ёнига кенглиги x га тенг, томонлари ўзаро параллел шакл ясалади, бу ВЕ шакл бўлади. СЕ=b (мисолда 10) бўлсин, CD=x бўлганидан, ABCDюзи=x² бўлади. Бунда x< бўлиши керак. ABEN юзи =(b-x)x=c бўлади. DN ни F нуқтада тенг иккига бўламиз ва унга перпендикуляр чиқарамиз. Бу перпендикулярни HK=HA= миқдорича давом эттирамиз. Томони ( ), яъни (5-х) бўлган квадрат ясаймиз. Бунда ясашга асосан томонлари мос равишда тенг бўлганидан ABHF ва LGME шакллар ўзаро тенг бўлади. У вақтда MKNF юзи= ABEN юзи + LKGH юзи ёки ёки 5²=(5-х)²+21: бундан ёки (5-х)²=5²-21; бундан

ёки 5-х=2, x=3 ёки
Демак, CD изланган квадратнинг томони х бўлиб, бу 3 га тенг бўлади.
Юқоридаги тенгламанинг иккинчи ечими учун геометрик шакл арабча қўл ёзмада келтирилмаган. Аммо асарнинг Роберт томонидан бажарилган латинча таржимасида иккинчи ҳол учун ҳам геометрик шакл келтирилган. Буни ясаш қуйидагича бажарилади: DN=b (илдизлар сони, мисолда 10) олиб, DB=x aжратилади, бунда > (х>5) бўлсин (4-шакл).

Кесманинг ўртаси F нуқта олиниб, FNMK квадрат ва томони FB=x - бўлган квадрат ҳамда ABNE тўғри тўртбурчак ясалади. ABNE юзи = (b-x)x = c ёки (10-x)x=21 бўлади.

Шаклдан: FBGH юзи = FNMKюзи – ABNE юзи ёки , бундан x- ёки
Демак, DВ томони, яъни x=7 бўлади.
6. “Илдизлар ва сон квадратларга тенг”, яъни bx+c=ax². Бундай квадрат тенгламани, масалан, 3x+4=x² бўлган ҳолда ечиш учун Хоразмий шундай қоида беради: «Илдизлар сонини иккига бўл, бир ярим бўлади, буни ўз-ўзига кўпайтир, икки ва чорак бўлади. Уни 4 га қўшсанг олти-ю чорак бўлади. Бундан илдиз чиқар, икки ярим бўлади, буни илдизлар сонининг ярмига, яъни бир яримга қўш, 4 бўлади. Мана шу квадратнинг илдизидир, квадратнинг ўзи 16 бўлади».
Агар тенгламада квадратнинг сони бирдаи ортиқ бўлса ёки бирдан кам бўлса, бу ҳолларни Хоразмий “битта квадрат ҳолига келтириб” юқоридаги қоида бўйича ечиш керак деб ёзади.
Хозирги белгилашларга асосан бу қоидани

кўринишда ифодалаш мумкин.
bx+c=x² шаклдаги тенгламани, масалан, 3x+4=x² тенгламани ҳам Хоразмий геометрик усул билан қуйидагича ечади: томони номаълум бўлган квадрат ясайди (5-шакл), АС томонида СЕ = b кесма ажратади. ЕС га тенг GD ни олади. У вақтда AEBG юзи =x(х-b)=c бўлади. ЕС ни Н нуқтада тенг иккига бўлиб EF квадратни ясайди, унинг юзи га тенг бўлади. HL да FL = АЕ ни олиб, АНМL квадратни ясайди. У вақтда AHMLюзи = EHKFюзн +AEBG юзи ёки бўлади. Бундан ёки ҳосил бўлади.
Агар юқоридаги тенглама илдизларининг мос қийматларини эътиборга олсак, x=4 келиб чиқади. Демак, ҳосил бўлган квадратнинг томони АС = х бўлиб, квадратнинг илдизи аниқланади.
Хоразмий, ax²+bx+c=0 умумий кўринишдаги квадрат тенгламаларни ечиш устида махсус тўхталмаган. Лекин уни ax²+bx=c кўринишдаги тенглама учун келтирилган қоидасини умумлаштирсак, қуйидагини айтиш мумкин. У бундай тенгламаларда аввал x² нинг коэффициентини бирга келтиради, яъни уни келтирилган тенглама шаклида ёзади.
Келтирилган квадрат тенглама эса унинг баён этган қоидаларининг бири бўйича ечилиши мумкинлигини ёзади.
Яъни Хоразмий ax²+bx+c=0 ёки тенглама илдизларини топиш учун: ёки
формула билан ифодаланувчи қоида беради ва сўнгра бу қоиданинг геометрик исботини кўрсатади. Унинг геометрик исботлари сонли мисоллар билан бажарилган бўлса ҳам, улар умумий характерга эга бўлган исботлардир.
Хоразмий квадрат тенгламанинг манфий илдизини, шунингдек мавҳум илдизларини эътиборга олмайди.
Демак, Хоразмий математика тарихида биринчи бўлиб алгебра фанидан китоб ёзди ва ўз китобида квадрат тенгламаларнинг классификациясини берди. Хоразмийгача квадрат тенгламаларни ечиш учун умумий қоида бўлмаган. Хоразмий биринчи бўлиб, бундай қоидани берди, исботини кўрсатди. Хоразмий алгебра фанини асословчи математик олим бўлиб, алгебрани “ал-жабр вал-муқобала” ҳисоблашларидан иборат фан деб таърифлади.
Ҳозирги замон алгебраси—алгебраик кўп ҳадликлар ҳақидаги таълимот чегарасидан чиқиб, анча кенгайган бўлса ҳам, кўп асрлар давомида ва ҳозир ҳам алгебра, асосан тенгламалар ечиш масалалари билан шуғулланади.