Kvadratik form

Keywords: quadratic forms, canonical form, law of inertia, orthogonal substitution, eigenvalues and eigenvalues, eigenvalues and eigenvalues, second order lines.

1. Kvadratik formaning ta’rifi va unga misollar.
1-ta’rif. ⁿ ta ^{x ,x2,...,xn} noma’lumlarning ^{f (x)} kvadratik formasi, deb har bir hadi bu noʻmalumlarning kvadrati yoki ikkita noma’lumning koʻpaytmasidan iborat

boʻlgan

yig‘indiga aytiladi.

^{f }^a_ij^x_i^x_j
^{i1 j1} (4)

Kvadratik formaning ^aij koeffitsiyentlaridan foydalanib

kvadrat matritsani tuzish mumkin. Bu yerda ^A matritsaning barcha xarakteristik _{ildizlari haqiqiy boʻlishi uchun} a_ij a_{ji , deb faraz qilinadi. A matritsaning rangi (4)} kvadratik formaning rangi, deyiladi. ^A matritsa aynimagan boʻlsa, (4) kvadratik forma xosmas deyiladi.
Kvadratik formaning koeffitsiyentlari haqiqiy yoki kompleks sonlar boʻlishiga boʻg‘liq holda, kvadratik forma haqiqiy yoki kompleks deyiladi.
(4) ni matritsa formada quyidagacha yozish mumkin
_f X^T AX _{(5)
Bu yerda X va X}_{oʻzaro transponirlangan matritsalar boʻlib,}

Ikki noʻmalumli kvadratik forma quyidagi koʻrinishda boʻladi

f a ₁x² 2a ₂x x₂ 2a ₃x x₃ 2a₂₃x₂x₃ a₂₂x₂ a₃₃x₃ , (a ₂ a₂₁,a ₃ a₃₁,a₂₃ a₃₂ )
koʻrinishda boʻladi.
_Simmetrik matritsalar uchun ba’zi xossalarini keltirib oʻtamiz: _1. (AB)^T B^T A^T _;
2. A^T A_.
Bu xossalardan foydalanib quyidagi teoremani sxematik isbotlaymiz.
Teorema. ^A matritsali ⁿ noma’lumli kvadratik forma ustida ^Q matritsali chiziqli almashtirish bajarilgandan soʻng u ^QT ^AQ matritsali yangi ⁿ noma’lumli kvadratik formaga aylanadi.
Isbot. (4) formaga nisbatan

^xi ^^qik ^yk k1
_ya’ni X QY _{chiziqli almashtirishni bajaramiz. U holda 1- xossaga koʻra} X^T Y^TQ^T _{tenglikni hosilqilamiz. U holda (4) quyidagi koʻrinishga keladi:}
f Y^T (Q^T AQ)Y _yoki f Y^T BY Bu yerda ^B matritsa simmetrik boʻladi.
_1-misol. f 2x² 4x x₂ 3x_{2 kvadratik forma ustida} ^{x 2y 3y}₂^,
^x2 ^y1 ^y2
almashtirish bajarilgandan soʻng hosil boʻlgan yangi kvadratik formani toping.

^A^2
_{Yechish. Bu yerda kvadratik formaning matritsasi} 
² 
_3_{, chiziqli}

^C ^2
_{almashtirishning matritsasi esa} asosa
¹ _{koʻrinishda boʻladi. U holda teoremaga}

_A C^T AC _3
¹^{2 2} ^{2 3}^{13 17}
¹^{2 3}^{1 1} ^{17 3} 

Bundan quyidagi kvadratik formani hosil qilamiz:
L 13y² 34y₁ y₂ 3y² Mashqlarni bajaring.
₁₎ f x² 8x x₂ 3x_{2 kvadratik forma ustida}

_x 2y 3y₂, _x₂ 3y 2y_2
almashtirish bajarilgandan soʻng hosil boʻlgan yangi kvadratik formani toping. ₂₎ f 5x² 4x x₂ 2x_{2 kvadratik forma ustida}
^{x 2y}₁ ^5y₂^, ^x2 ^2y1 ^3y2
almashtirish bajarilgandan soʻng hosil boʻlgan yangi kvadratik formani toping. Yuqoridagilarga asoslanib quyidagi xulosani chiqarish mumkin.
Chiziqli almashtirish bajarilgandan soʻng kvadratik formaning rangi oʻzgarmaydi.
2.Kvadratik formaning kanonik korinishi. Kvadratik formani kanonik korinishga keltirish.
2-ta’rif. Agar (4) kvadratik formada turli noma’lumlarning koʻpaytmalari oldidagi barcha koeffitsiyentlar nolga teng boʻlsa, u holda bu forma kvadratik formaning kanonik koʻrinishi deb ataladi.
Shunday qilib, quyidagi
f b y² b y₂ ....b y_n ifoda (4) formaning kanonik koʻrinishi deyiladi.
Shuni alohida ta’kidlash kerakki, kanonik koʻrinishda noldan farqli koeffitsiyentlar soni (4) kvadratik formaning rangiga teng boʻlishi kerak. Quyidagi teoremani isbotsiz keltiramiz.
Teorema. Har qanday kvadratik forma biror xosmas chiziqli almashtirish orqali kanonik koʻrinishga keltirilishi mumkin.
Bu teoremani matematik induksiya metodi yordamida isbotlash mumkin. Demak, matematik induksiya metodi yordamida kvadratik formani kanonik koʻrinishga keltirish mumkin.
Berilgan kvadratik forma keltiriladigan kanonik koʻrinish bir qiymatli aniqlangan emas, ya’ni har qanday kvadratik forma turli usullar bilan turli koʻrinishdagi kanonik koʻrinishga keltirilishi mumkin.
_Masalan, f 2x x₂ −6x₂x₃ 2x₃x _{kvadratik formani} ^x ₂t₁ ₂t₂ 3t₃, ^x₂ ¹t₁ ¹t₂t₃,

_x₃ t₃. _a) 

xosmas chiziqli almashtirish yordamida

keltirish mumkin;

^f ¹t² ¹t² 6t²
kanonik koʻrinishga

_x t₁ 3t₂ 2t₃, _x₂ t₁ t₂ 2t₃,
_{b) }x₃ t₂.
_{xosmas chiziqli almashtirish yordamida} f 2t₁ 6t₂ 8t_{3 kanonik koʻrinishga} keltirish mumkin.
(4) krvadratik formani kanonik koʻrinishda yozish uchun ^A matritsaning _{xarakteristik ildizlarini, ya’ni} AE _{koʻphadning ildizlarini topamiz. Bu ildizlar} esa kanonik koʻrinishning koeffitsiyentlari boʻladi.
2-misol. Quyidagi
f 2x x₂ 2x x₃ 2x x₄ 2x₂x₃ 2x₂x₄ 2x₃x_4. kvadratik formani kanonik koʻrinishga keltiring.
Yechish. Bu kvadratik formaning matritsasi

_⁰ A_1
1
1 1 1_0 1 1
^1 0 1 ^{
1 1 0} 

koʻrinishga ega. Uning xarakteristik koʻphadini topamiz:  1 1 1

AE 
1  1 1
1 1  1

(1)³(3)

1 1 1 
_{Shunday qilib, A matritsaning uch karrali xarakteristik ildizi: 1} ₂ ₃ 1 _{va bitta oddiy xarakteristik ildizi:} ₄ 3 _mavjud.
Demak, bu kvadratik formaning kanonik koʻrinishi quyidagicha boʻladi:
_f y² y₂ y₃ 3y_{4 .}
Ba’zi hollarda faqat kanonik koʻrinishini emas, balki bu koʻrinishga keltiruvchi almashtirishni bilish kerak boʻlib qoladi.
Buning uchun berilgan ^A simmetrik matritsani diagonal koʻrinishga keltiruvchi
^Q orthogonal matritsani yoki uning teskari matritsasi ^Q1ni topish va ^A matritsaning _{0 xarakteristik ildizlaridan foydalanib tuzilgan}

(A₀E)X 0
sistemaning fundamental yechimlarini ortonormallash kifoya. Yuqoridagi misolda uning amalga oshirish algoritimini koʻrib chiqamiz. 3-misol. Quyidagi
_f 2x x₂ 2x x₃ 2x x₄ 2x₂x₃ 2x₂x₄ 2x₃x_4.
kvadratik formani kanonik koʻrinishga keltiruvchi xosmas almashtirishni toping. _Yechish. ₀ 1 _{boʻlsin. U holda quyidagi sistemani hosil qilamiz:}
^x x₂ x₃ x₄ 0, _x x₂ x₃ x₄ 0,
_x x₂ x₃ x₄ 0, _x x₂ x₃ x₄ 0.
Bu sistemaning rangi 1 ga teng. Demak, uning 3 ta chiziqli erkli yechimini topish mumkin. Masalan: