Kvadratik form

n−1
f (x ,x₂,...,x_n−1)2i1 a_inx_ix_n a_nnx_n .
^f _{forma musbat aniqlangan boʻlsin. U holda induktiv farazga koʻra} formaning hamma bosh minorlari qat’iy musbat. ^f formaning oxirgi bosh minori, ya’ni ^Amatritsa determinantining qat’iy musbatligi quyidagi mulohazadan kelib chiqadi: ^f forma musbat aniqlanganligi sababli u xosmas chiziqli almashtirish yordamida ⁿ ta musbat kvadratlardan tuzilgan normal koʻrinishgakeladi. Bu normal koʻrinishning determinant qat’iy musbat, shu sababli ^f formaning determinanti ham
qat’iy musbat.
_Endi ^f _{formaning hamma bosh minorlari qat’iy musbat boʻlsin. U holda} formaning hamma bosh minorlari qat’iy musbat boʻlgani uchun induktiv far

_koʻra  _{forma musbat aniqlanganligi kelib chiqadi, ya’ni}
noma’lumlarning shunday chiziqli almashtirishi mavjudki, u yangi


_x ,x₂,...,x_n−1 _formani

^{y ,y}₂^,...,y_{n−1 noma’lumlarning} n −1 _{ta kvadratlari yig‘indisi ko’rinishiga keltiradi. Bu chiziqli almashtirishni,} x_n y_{n , deb farazqilib, barcha} x ,x₂,...,x_n noma’lumlarning chiziqli almashtirishigacha toʻldirish mumkin. Bu chiziqli almashtirishdan soʻng quyidagi koʻrinishga keladi:
n−1 n−1
f  y_i 2 b_n y_i y_n b_nn y_n i1 i1

ⁱⁿ ning aniq koʻrinishi biz uchun muhim emas.
^y_i ^2b_n ^y_i ^y_n ^^y_i ^b_n ^y_n 2 ^−b_n ^y_{n
boʻlgani uchun} z_i y_i b_n y_n, i 1,2,...,n−1, z_n y_{n chiziqli almashtirish} f formani

n−1
f  z_i cz_n i1

kanonik koʻrinishga keltiradi.

(6)

^f formaning musbat aniqlanganligini koʻrsatish uchun ^c sonning musbatligini koʻrsatish yetarli. Koʻrinib turibdiki, (6) formaning determinanti ^c ga teng. Bu determinant esa musbat. Chunki farazga asosan ^f formaning bosh determinanti
musbat va xosmas chiziqli almashtirishlarda forma determinantining ishorasi oʻzgarmaydi.
_Masalan, f 5x² x₂ 5x₃ 4x x₂ −8x x₃ −4x₂x_{3 kvadratik forma musbat} aniqlangan, chunki uning bosh minorlari musbat:

5,

5
2

₁ 1,
5 2 −4
2 1 −2 1.
−4 −2 5

_f 3x² x₂ 5x₃ 4x x₂ −8x x₃ −4x₂x_{3 kvadratik forma musbat aniqlangan}

3
^emas, chunki uning ikkinchi minori manfiy: ^2
2 −1 .

Ikki noma’lumli ikkinchi darajali tenglamaning umumiy koʻrinishi quyidagicha boʻladi:
_Ax² 2Bxy Cy² 2Dx2Ey F 0 ₍₇₎
(7) tenglama bilan aniqlanuvchi nuqtalarning geometrik oʻrnini koʻrib chiqamiz. Buning uchun (7) tenglamaning koeffitsiyentlaridan quyidagi ikkita:

_{B C} ,

A B D B C E
D E F

determinantni tuzamiz.

_{Bu yerda −(7) tenglamaning diskriminanti,} −_{uning yuqori tartibli hadlarining diskriminanti deyiladi. va} _{larning qiymatlariga qarab (7) tenglama}
quyidagi geometric formalarni aniqlaydi:

0
0 Ellips (haqiqiy yoki mavhum) 0 Giperbola

0 Parabola

0 Nuqta
Ikkita kesishuvchi toʻg‘ri chiziq Ikkita parallel toʻg‘ri chiziq
(haqiqiy yoki mavhum parallel toʻg‘ri chiziq)

_Masalan, x² −y² 0 _{ikkita kesishuvchi toʻg‘ri chiziqni aniqlaydi, chunki bu yerda} −1, 0_; (xy)² 1 _{ikkita parallel toʻg‘ri chiziqlarni aniqlaydi, chunki
bu yerda} 0, 0_; x² y² 0 _{bitta nuqtani ifodalaydi chunki bu yerda} 1, 0_.
Yuqorida jadvalda keltirilgan ikkinchi tartibli egri chiziqlarning har birini
alohida-alohida koʻrib chiqamiz.
_1. Ax² 2Bxy Cy² 2Dx 2Ey F 0 _{kvadratik formada} 0, 0 bo’lsin. U holda jadvalga asosan kvadratik forma ellipsning tenglamasi bo’ladi. Biz ellipsning xususiy hol aylanani ko’rishdan boshlaymiz.
7-ta’rif. Tekislikda belgilangan ^M(a,b) nuqtadan bir xil ^R masofada yotgan nuqtalarning geometrik oʻrni aylana deb ataladi.
_{Aylananig tenglamasi} (x −a)² (y −b)² R² _{ko’rinishda bo’lib, bu yerda} ^M(a,b)nuqta aylana markazi, ^R masofa esa aylana radiusi deb ataladi.

_4-misol. x² y² −6x−70_{tenglama bilan berilgan aylananing markazi} koordinatalarini va radiusini toping.

_Yechish. Tenglamada ^x va ^y ga nisbatan toʻla kvadrat ajratamiz: (x −3)² y² 4² _{. Bundan R 4 aylana radiusini va} M₀ (3,0) _{aylana markazini}
topamiz.
_5-misol. M(0,3)_nuqtadanx² y² −6x 4y −120_{aylanagaoʻtkazilgan urinma}
tenglamasini toping.
_{Yechish. Urinma tenglamasini} y kx 3 _{toʻg‘ri chiziq koʻrinishida izlaymiz.} Chunki u (0,3) nuqtadan oʻtadi. Aylana tenglamasini kanonik koʻrinishga keltiramiz:
^х−32 ^^у22 ^{−9−4−120}_{, ya’ni} ^{х −3}2 ^^{у 2}2 ^25 _. Aylana va toʻg‘ri chiziqning umumiy nuqtasini topish uchun toʻg‘ri chiziq va
aylana tenglamalarini birgalikda yechib, quyidagi shakl almashtirish bajaramiz:
₍x −3)² (kx 32)² 0(k² 1)x² (10k −6)x 90_.
Toʻg‘ri chiziq aylanaga uringani uchun bu tenglama yagona yechimga ega boʻlishi kerak. Tenglama yagona yechimga ega boʻlishi uchun esa uning diskriminanti nolga teng boʻlishi lozim:
(5k −3)² −9(k² 1) 016k² −30k 0

^k 0, k ¹⁵
U holda . Demak, izlangan urinma tenglamalari

_y 3_yoki

y ¹⁵ x 3
koʻrinishda boʻladi.
_{8-ta’rif. Har bir nuqtasidan belgilangan}F (−c,0), F (c,0) _{nuqtalargacha boʻlgan} masofalar yig‘indisi oʻzgarmas ^2asonga teng boʻlgan nuqtalarninggeometrik oʻrni ellips deb ataladi.
_{Bu yerda}F (−c,0), F (c,0) _{nuqtalar ellipsning fokuslari deb ataladi.}

2 2
_a2 _b2 1 ₍₈₎
(8) ellipsning kanonik tenglamasi deb ataladi. (8) tenglamada noma’lumlarning faqat kvadratlari qatnashgani uchun, uning grafigi ^Ox va ^Oy oʻqlariga nisbatan simmetrik joylashgan. Koordinatalar boshi uning simmetriya markazi boʻlib, koordinata oʻqlari simmetriya oʻqlari boʻladi. Fokuslar joylashgan oʻq ellipsning fokus (fokal) oʻqi deyiladi.
Ellipsni koordinata oʻqlari bilan kesishgan nuqtalari uning uchlari deyiladi. (8) _tenglamada y 0_{, deb} A (−a,0), A (a,0) _{uchlarni, х 0, deb} B (−b,0), B₂ (b,0) _{uchlarni topamiz,} A A 2a, B₂B 2b _{kesmalar ellipsning mos ravishda katta} (fokal) oʻqi va kichik (fokal) oʻqi, deyiladi ^{a, b} kesmalar mos ravishda katta yarim oʻq va kichik yarim oʻq deyiladi. Oʻqlari koordinata oʻqlariga parallel boʻlgan ellipsning tenglamasi
₍x −x₀ )² _(y −y₀ )² <sub>1

koʻrinishda boʻladi va</sub> ^x₀^,y₀ _{ellips markazining koordinatasini ifodalaydi.} Ellips fokuslari orasidagi ^2c masofani katta oʻq ^2a ga nisbati uning
_{ekssentrisiteti deyiladi va} _{bilan belgilanadi:} ^_a^.
_{Har qanday ellips uchun} 1 _boʻlib, _{ellipsning choʻzinchoqligini yoki
siqi}lganligini bildiradi. Ellipsning fokal radiuslari ₁ a x, r a −x (r r 2a) _{formula bilan aniqlanadi.}
a
_{Ellipsning kichik oʻqiga parallel va undan}  _{masofada yotgan toʻg‘ri}
^x ^a
chiziqlarellipsning direktrisasi deb ataladi va tenglama bilan aniqlanadi.
_6-misol. 4x² 3y² −8x 12y −320 _{tenglama bilan aniqlangan chiziqning} shaklini, markazini va ekssentrisitetini toping.