Kvadratik forma va uni kanonik korinishga keltirish

4-misol. tenglama bilan berilgan aylananing markazi koordinatalarini va radiusini toping.
Yechish. Tenglamada va ga nisbatan toʻla kvadrat ajratamiz: . Bundan aylana radiusini va aylana markazini topamiz.
5-misol. nuqtadan aylanagaoʻtkazilgan urinma tenglamasini toping.
Yechish. Urinma tenglamasini toʻg‘ri chiziq koʻrinishida izlaymiz. Chunki u (0,3) nuqtadan oʻtadi. Aylana tenglamasini kanonik koʻrinishga keltiramiz:
, ya’ni .
Aylana va toʻg‘ri chiziqning umumiy nuqtasini topish uchun toʻg‘ri chiziq va aylana tenglamalarini birgalikda yechib, quyidagi shakl almashtirish bajaramiz:
.
Toʻg‘ri chiziq aylanaga uringani uchun bu tenglama yagona yechimga ega boʻlishi kerak. Tenglama yagona yechimga ega boʻlishi uchun esa uning diskriminanti nolga teng boʻlishi lozim:

U holda . Demak, izlangan urinma tenglamalari yoki koʻrinishda boʻladi.
8-ta’rif. Har bir nuqtasidan belgilangan nuqtalargacha boʻlgan masofalar yig‘indisi oʻzgarmas songa teng boʻlgan nuqtalarninggeometrik oʻrni ellips deb ataladi.
Bu yerda nuqtalar ellipsning fokuslari deb ataladi.



. (8)
(8) ellipsning kanonik tenglamasi deb ataladi. (8) tenglamada noma’lumlarning faqat kvadratlari qatnashgani uchun, uning grafigi va oʻqlariga nisbatan simmetrik joylashgan. Koordinatalar boshi uning simmetriya markazi boʻlib, koordinata oʻqlari simmetriya oʻqlari boʻladi. Fokuslar joylashgan oʻq ellipsning fokus (fokal) oʻqi deyiladi.
Ellipsni koordinata oʻqlari bilan kesishgan nuqtalari uning uchlari deyiladi. (8) tenglamada , deb uchlarni, , deb uchlarni topamiz, kesmalar ellipsning mos ravishda katta (fokal) oʻqi va kichik (fokal) oʻqi, deyiladi kesmalar mos ravishda katta yarim oʻq va kichik yarim oʻq deyiladi. Oʻqlari koordinata oʻqlariga parallel boʻlgan ellipsning tenglamasi

koʻrinishda boʻladi va ellips markazining koordinatasini ifodalaydi.
Ellips fokuslari orasidagi masofani katta oʻq ga nisbati uning ekssentrisiteti deyiladi va bilan belgilanadi:
Har qanday ellips uchun boʻlib, ellipsning choʻzinchoqligini yoki siqilganligini bildiradi. Ellipsning fokal radiuslari formula bilan aniqlanadi.
Ellipsning kichik oʻqiga parallel va undan masofada yotgan toʻg‘ri chiziqlarellipsning direktrisasi deb ataladi va tenglama bilan aniqlanadi.