Kvadratik forma va uni kanonik korinishga keltirish

Kvadratik forma va uni kanonik korinishga keltirish

Toshkent axborot texnologiyalari universiteti

1. Kvadratik formaning ta’rifi va unga misollar.
1-ta’rif. ⁿ ta ^{x x}1 2^{, ,...,x}n noma’lumlarning ^{f x( )} kvadratik formasi, deb har bir hadi bu noʻmalumlarning kvadrati yoki ikkita noma’lumning koʻpaytmasidan iborat boʻlgan
(4)

yig‘indiga aytiladi.

Kvadratik formaning a^ij koeffitsiyentlaridan foydalanib

kvadrat matritsani tuzish mumkin. Bu yerda A matritsaning barcha xarakteristik ildizlari haqiqiy boʻlishi uchun a^{ij = aji} , deb faraz qilinadi. A matritsaning rangi (4) kvadratik formaning rangi, deyiladi. A matritsa aynimagan boʻlsa, (4) kvadratik forma xosmas deyiladi.

Kvadratik formaning koeffitsiyentlari haqiqiy yoki kompleks sonlar boʻlishiga boʻg‘liq holda, kvadratik forma haqiqiy yoki kompleks deyiladi. (4) ni matritsa formada quyidagacha yozish mumkin

Bu yerda X va X’ oʻzaro transponirlangan matritsalar boʻlib,

Ikki noʻmalumli kvadratik forma quyidagi koʻrinishda boʻladi

f = a x11 12 + (a12 + a21 1 2)x x + a x22 22 = a x11 12 + 2a x x12 1 2 + a x22 22, (a12 = a21)

Uchta noʻmalumning kvadratik formasi esa

f = a x11 12 + 2a x x12 1 2 + 2a x x13 1 3 + 2a x x23 2 3 +
+a x22 22 + a x33 32, (a12 = a21 13,a = a31,a23 = a32)
koʻrinishda boʻladi.
Simmetrik matritsalar uchun ba’zi xossalarini keltirib oʻtamiz:

1. 
   (AB)T = B AT T ;
   
2. 
   A^T = A.
   

Bu xossalardan foydalanib quyidagi teoremani sxematik isbotlaymiz.
Teorema. A matritsali ⁿ noma’lumli kvadratik forma ustida ^Q matritsali chiziqli almashtirish bajarilgandan soʻng u ^{Q AQT} matritsali yangi ⁿ noma’lumli kvadratik formaga aylanadi. Isbot. (4) formaga nisbatan

ya’ni X ^=QY chiziqli almashtirishni bajaramiz. U holda 1- xossaga koʻra
^{X T =Y QT T} tenglikni hosilqilamiz. U holda (4) quyidagi koʻrinishga keladi: f =YT (Q AQ YT ) yoki f =Y BYT
Bu yerda B matritsa simmetrik boʻladi.
1-misol. f = 2x12 + 4x x1 2 −3x22 kvadratik forma ustida

almashtirish bajarilgandan soʻng hosil boʻlgan yangi kvadratik formani toping.

Yechish. Bu yerda kvadratik formaning matritsasi , chiziqli
almashtirishning matritsasi esa koʻrinishda boʻladi. U holda teoremaga asosan

Bundan quyidagi kvadratik formani hosil qilamiz:

Mashqlarni bajaring.

1. 
   vadratik forma ustida
   

almashtirish bajarilgandan soʻng hosil boʻlgan yangi kvadratik formani toping.

2. 
   kvadratik forma ustida
   

almashtirish bajarilgandan soʻng hosil boʻlgan yangi kvadratik formani toping. Yuqoridagilarga asoslanib quyidagi xulosani chiqarish mumkin.
Chiziqli almashtirish bajarilgandan soʻng kvadratik formaning rangi oʻzgarmaydi.