Ko`phad diskriminant ta’rifi. Ko`phad diskriminantini hisoblash

Ko`phad diskriminanti. Ko’pxadlar rezultanti
Reja:

1. 
   Ko`phad diskriminant ta’rifi.
   
2. 
   Ko`phad diskriminantini hisoblash.
   
3. 
   Ko`phad rezultanti.
   
4. 
   Ko`phad rezultantini hisoblash.
   

Р[x₁,x₂,....,x_n] ko`phadlar halqasida

ko`phadni qaraylik, uni Vandermond determinanti orqali ifodalash mumkin:

(1)
Shunday qilib,ushbu determinant o`zining ustunlariga nisbatan kososimmetrik funksiya bo`ladi, u holda -S_n o`rniga qo`yishning ishorasi bo`ladi. Bu holda simmetrik ko`phad bo`ladi va asosiy teoremaga ko`ra uni elementar simmetrik ko`phadlar orqali ifodalash mumkin:

Dis(s₁,…,s_n) s₁(x₁,....,x_n),....,s_n(x₁,....,x_n) larning ko`phadi bo`ladi va u x₁,...,x_n т\lar oilasini diskriminanti deyiladi. Ravshanki, uni koeffisientlari Z da yotadi. x_i o`rniga biror x<sub>i</sub><sup>0</sup> F i = 1,2,...,n larni qo`yish (F - Р maydonning biror kengaytmasi), F maydonning ixtiyoriy n elementlari to`plamini diskriminanti haqida gapirishga imkon beradi. Agar barcha x<sub>1</sub>,...,x<sub>n</sub>  F har xil bo`lmasa, u holda bu to`plam diskriminanti nolga teng bo`ladi. Chunki x_i-x_j ko`paytmalardan kamida bittasi nolga teng bo`ladi.

Diskriminantni hosil qilishning eng oson yo`li = (Ma`lumki, ixtiyoriy A matritsa uchun det ^tA = det A ) tenglikdan foydalanish. Matritsalarni ko`paytirishdan foydalanib quyidagi tenglikni hosil qilamiz:
(2)
bunda p<sub>k</sub> – ma`lum darajali yig`indi.p<sub>k</sub> larni ma`lum rekurent formulalardan topamiz:
p_k-p_k-1s₁+ p_k-2s₂+...+(-1)^k-1p₁s_k-1+ (-1)^kks_k = 0, agar 1  k  n bo`lsa; (3)
va
p<sub>k</sub>-p<sub>k-1</sub>s<sub>1</sub> + p<sub>k-2</sub>s<sub>2</sub> +....+ (-1)<sup>n-1</sup>p<sub>k-n+1</sub>s<sub>n-1</sub>+ (-1)<sup>n</sup> p<sub>k-n</sub>s<sub>n</sub> = 0, agar k > n bo`lsa; (4).
Natijada Dis (s₁,...,s_n) lar uchun oshkor ifodalarni hosil qilamiz Xususan,
p₁= s₁, p₂ = s₁²-2s₂, u holda
(4)
Ildizlari c₁,c₂,....,c_n lar biror Р maydondan yoki uning biror kengaytmasi.F maydondan olingan unitar
f(x) = xⁿ + a₁x^n-1 +....+a_n-1x + a_n P[x]
ko`phad berigan bo`lsin. Ma`lumki, Viet formulasiga ko`ra,
a_k= (-1)^ks_k(c₁,c₂,...,c_n).
Ta`rif. f ko`phadning с₁,....,c_n ildizlari to`plami diskriminanti Dis(s<sub>1</sub>,...,s<sub>n</sub>) da s<sub>k</sub> lar o`rinlariga mos ravishda (-1)^ka_k larni qo`yishdan hosil bo`lgan ifodaga f ko`phadning diskriminanti deyiladi va D(f) deb belgilanadi. U
f(x) = x<sup>n</sup> + a<sub>1</sub>x<sup>n-1</sup> +....+ a<sub>n-1</sub>x + a<sub>n</sub> = 0. (5)
algebraic tenglamaning diskriminanti ham deb ataladi. Ravshanki, D(f) P .
Tasdiq. D(f) = 0 bo`lganda va faqat shu holdagina (5) tenglama karrali ildizga ega bo`ladi( ya`ni birorta ildizining karraligi k > 1 bo`ladi).
(4) formulani kvadrat uchhadga qo`llash mumkin: f(x) = x² +ax+b bunda a, va b lar haqiqiy sonlar, u holda D(f) = a² - 4b – bo`ladi, bu bizga elementar matimatikadan ma`limb o`lgan ifoda. Xususan, D (f) ishora x<sup>2</sup>+ax+b =0 tenglamaning ildizlarini haqiqiy yoki kompleks qo`shma ekanligiga bog`liq. Misol sifatida to`la bo`lmagan kubik tenglamaning diskriminantini hisoblaymiz:
f(x) = x<sup>3</sup> +ax +b = 0.
Bu holda s<sub>4</sub> = 0 va p<sub>k</sub> lar rekurent formulalarga ko`ra p₁= s₁= 0,
p₂ = s₁²-2s₂ = -2a, p₃ = s₁³-3s₁s₂+3s₃ = -3b, p₄ = s₁⁴- 4s₁²s₂+4s₁s₃+2s₂² = 2a².
ravshanki, u holda (2) formulaga ko`ra