Kvadratik forma va uni kanonik korinishga keltirish

7-misol. giperbolada:
1) yarim oʻqlar uzunligi;
2) fokuslar koordinatasi;
3) ekssentrisiteti;
4) asimptotava direktrisa tenglamasi;
5) nuqtasining fokal radiuslaritopilsin.
Yechish.Tenglamaning ikki tarafini 20 ga boʻlib, giperbolatenglamasini kanonik koʻrinishga keltiramiz: .Bundan:
1) , , ya’ni ;
2) .Demak, ;
3) ;
4) asimptota va direktrissa tenglamalari topamiz: ;
5) nuqta giperbolaning oʻng qismida yotganligi sababli uning fokal radiusi formuladan foydalanib topiladi: .
Mashqlar. 1) Fokuslari nuqtalarda yotgan va mavhum oʻqining uzunligi 6 boʻlgan giperbola tenglamasini toping.
2) Agar giperbola ekssentrisiteti 2 boʻlsa, uning asimtotalari orasidagi burchakni toping.
3. kvadratik formada bo’lsin. U holda jadvalga asosan kvadratik forma parabolaning tenglamasi bo’ladi.
10-ta’rif. Belgilangan nuqta va belgilangan toʻg‘ri chiziqdan bir xil uzoqlikda yotgan nuqtalarning geometrik oʻrni parabola deb ataladi.
nuqta fokus, toʻg‘ri chiziqesadirektrisa deb ataladi.
Fokus nuqtadan oʻtib direktrisaga perpendikulyar boʻlgan oʻqni oʻqi, deb qabul qilamiz. U holda parabolaning grafigi quyidagi koʻrinishda boʻladi:

Paraboladan ixtiyoriy nuqta olamiz. U holda ta’rifga asosan
.
Bu tenglamani soddalashtirib quyidagiga ega boʻlamiz:
.
Bu tenglama parabolaning kanonik tenglamasi deb ataladi.
Agar parabolaning fokusi nuqtada, direktrisasi toʻg‘ri chiziqda boʻlsa, u holda uning grafigi

koʻrinishda boʻlib, tenglamasini esa quyidagicha yozamiz:

Parabolaning uchi nuqtada yotadi, kesma uzunligi nuqtaning fokal radiusi, oʻqi esa uning simmetriya oʻqi deyiladi. Parabolning fokal radiusi formula boʻyicha topiladi.
8-misol. Parabola tenglama bilan berilgan boʻlsin. Fokus nuqta koordinatasi, direktrisa tenglamasi, nuqtaning fokal radiusi topilsin.