Kvadratik formaning kanonik shakli

2. To`plamning ichki va chegaraviy nuqtalari, uning quyuqla-nish nuqtasi. Yopiq va ochiq to`plamlar. Ixcham to`plam.
n o`lchovli V nuqtalar to`plamining ichki nuqtasi deb, o`zining biror-bir atrofi bilan V to`plamga tegishli nuqtaga aytiladi.
V nuqtalar to`plamining chegaraviy nuqtasi deb, har qanday atrofi to`plamga tegishli va tegishli bo`lmagan nuqtalardan iborat nuqtaga aytiladi.
1-rasmda M₀ nuqta V to`plamning ichki, M₁ nuqta esa uning chegaraviy nuqtasidir.

1-rasm. 2- rasm.

V nuqtalar to`plamining barcha chegaraviy nuqtalari to`plamiga u-ning chegarasi deyiladi.

Masalan, ikki o`lchovli V = {M(x<sub>1</sub>; x<sub>2</sub>) є R<sub>2</sub> | } nuqtalar to`plami uchun munosabatlarni qanoatlantiruvchi har bir M(x₁; x₂) nuqta uning ichki nuqtasi, markazi O(0; 0) nuqtada, koordinata o`qlari simmetriya o`qlari va yarim o`qlari a va b ga teng ellips uning chegarasidir.
n o`lchovli V nuqtalar to`plamining quyuqlanish nuqtasi deb, har bir atrofi V to`plamning cheksiz ko`p nuqtalarini o`z ichiga oluvchi M₀ є R_n nuqtaga aytiladi.
Masalan, R₁ fazoda O(0) nuqta bir o`lchovli V = { | k є N} nuqtalar to`plamining quyuqlanish nuqtasidir (2-rasm), chunki O(0) markazning har qanday r atrofi to`plamning cheksiz ko`p nuqtalarini o`z ichiga oladi. To`plamning quyuqlanish nuqtasi to`plamga tegishli bo`lishi shart emas. Misolimizda O(0)  V.
Har bir n o`lchovli quyuqlanish nuqtasi o`ziga tegishli nuqtalar to`p-lamiga R<sub>n</sub> fazoda yopiq to`plam deyilsa, har bir n o`lchovli nuqtasi ich-ki nuqta bo`ladigan nuqtalar to`plamiga esa R<sub>n</sub> da ochiq to`plam deyi-ladi.

Masalan, {M(x₁; x₂) є R₂ | x₁² + x₂² ≤ 1} to`plam R<sub>2</sub> da yopiq to`plam bo`lsa, {M(x<sub>1</sub>; x<sub>2</sub>) є R<sub>2</sub> | x<sub>1</sub><sup>2</sup> + x<sub>2</sub><sup>2</sup> < 1} to`plam esa R₂ da ochiq to`plamdir. R<sub>n</sub> fazoda M<sub>0</sub> nuqtaning r atrofi S<sub>r</sub>(M<sub>0</sub>) – ochiq to`plam.

Ochiq va yopiq to`plamlarning quyidagi xossalarini sanab o`tish mumkin:
1. Agar V to`plamning chegarasi shu to`plamga tegishli bo`lsa, V yopiq to`plamdir.
2. Har qancha yopiq to`plamlarning kesishmasi – yopiq to`plam.
3. Chekli sondagi yopiq to`plamlarning birlashmasi – yopiq to`plam.
4. Chekli sondagi ochiq to`plamlarning kesishmasi – ochiq to`plam.
5. Har qancha ochiq to`plamlarning birlashmasi – ochiq to`plam.
6. Agar V to`plamning to`ldiruvchisi yopiq bo`lgandagina V to`plamning o`zi ochiqdir.
R<sub>n</sub> fazoda chegaralangan va yopiq n o`lchovli nuqtalar to`plamiga ixcham (kompakt) nuqtalar to`plami deyiladi.
Masalan, [0; 1] kesma R₁ fazoda ixcham to`plamdir.