Lagranj va Klero tenglamalari maxsus yechimlar va ularning mavjudligi. Birinchi tartibli har-xil sinfdagi tenglamalar

1-Misol.



Klero tenglamasi
Lagranj tenglamasining xususiy xoli Klero tenglamasidir Lagranj tenglamasida bo’lsa
(1)
Bu Klero tenglamasining kanonik ko’rinishidir Klero tenglamasining ham differensiallash usulidan foydalanib yechamiz.

Bundan va buni (1) tenglamaga qo’ysak Klero tenglamasining umumiy yechimiga ega bo’lamiz.
Bundan kurinadikim Klero tenglamasining umumiy yechimi, ixtiyoriy o’zgarmasga (parametr) bog’liq bo’lgan to’g’ri chiziqlar oilasidan iboratdir.
Endi ni p ga nisbatan yechish mumkin bo’lsin.

U holda (1) dan (2)
ga ega bo’lamiz. Bu ham Klero tenglamasining yechimi bo’lib, u maxsus yechim bo’lishi mumkin.
Klero tenglamasining umumiy yechimini
(3)
parametr ko’rinishda ham yozish mumkin. (2) yechimni umumiy yechimdan farqi shundaki unda birinchidan o’zgarmas son qatnashmaydi. Ikkinchidan ixtiyoriy o’zgarmas sonning hech qanday qimatida uni hosil qilib bo’lmaydi. (2) yechimga Klero tenglamasining maxsus yechimi deyiladi.
Ma’lumki maxsus yechim
(4)
tenglamalardan ixtiyoriy o’zgarmas ni yo’qotish natijasida hosil bo’ladi. (4) ning ikkinchisi, birinchisining parametr ga nisbatan differensiallashdan xosil bo’lgan.
Differensial geometriyadan ma’lumki bunday amallar yordamida xosil bo’lgan chiziq, bitta parametrga bog’liq bo’lgan

To’g’ri chiziqlar oilasining o’ramasidan iboratdir.
Demak geometrik nuqtai nazaridan Klero tenglamasining maxsus yechimi, uning umumiy yechimini ifodalovchi to’g’ri chiziqlar oilasini uramasidan iboratdir
2-Misol
Tenglamaning umumiy yechimi.

Bu maxsus yechimdir.

Ma’lumki Koshi teoremasiga asosan

(1)
differensial tenglamaning o’ng tomoni biror sohada uzluksiz bo’lib, unda ga nisbatan chegaralgan xususiy hosilaga ega bo’lsa, sohaning ixtiyoriy har-bir ( ) nuqtasidan birgina integral egri chizig’i o’tadi.
Bu integral egri chiziq bitta parametrga bog’liq bo’lgan egri chiziqlar oilasi tarkibiga kirib, parametrning aniq soniy qiymatida aniqlanadi.
Bitta parametrga bog’liq bo’lgan egri chiziqlar oilasi umumiy yechimni tashkil etib, har-bir integral egri chiziqlar xususiy yechimlar nitashkil etadi.Yagonalik teoremasiga asosan bu holda boshqa hech qanday yechim , shu jumladan maxsus yechim ham mavjud emas.
TA’RIF: Differensial tenglamaning maxsus yechimi deb uzining hamma nuqtasida birlik xususiyatini qanoatlantirmaydigan yechimga aytiladi, ya’ni maxsus yechimning ixtiyoriy har-bir ( ) nuqtasidan hech bo’lmaganda ikkita integral egrichizig’i o’tadi.
Koshi teoremasi biror sohada yechimi mavjud bo’lmasligini yetarligi shartini beradi. Demak, aksincha maxsus yechimning mavjud bo’lishligi uchun Koshi teoremasidagi shartlarning bajarilmasligi zarurdir. Shunday qilib maxsus yechimning XOY tekisligining shunday nuqtalarida izlashimiz kerakki u nuqtalarda Koshi teoremasining shartlari bajarilsin.Xususiy holda agar tenglamaning o’ng tomonidagi f(x,y) funksiya ko’rilayotgan sohaning hamma nuqtalarida uzluksiz bo’lsa maxsus yechim Lipshis sharti bajarilmaydigan nuqtalardan utishi mumkin:
Agar f(x,y) funksiya ko’rilayotgan sohada ga nisbatan chekli yoki chekli bo’lmagan xususiy hosilaga ega bo’lsa, u holda Lipshis sharti hosila cheksizlikka aylanadigan nuqtalarda bajarilmaydi.
Biroq Lipshis sharti bajarilmagan nuqtalarning geometrik o’rni egri chiziq bo’lgan holda uning maxsus yechim bo’lishi mumkin, lekin uning maxsus yechim bo’lmasligi ham mumkin.Chunki u egri chiziqning o’zi tenglamaning yechimi bo’lolmasligi mumkin ya’ni Koshi teoremasidan maxsus yechim uchun faqat zaruriy shart kelib chiqadi. uzluksiz va cheksiz bo’lgan xol, ko'pincha irrasional funksiya bo’lgan holda uchraydi.