Legendre tenglamasi va Legendre funksiyalari

Legendre tenglamasi va Legendre funksiyalari
Yuqorida berilgan ikkinchi tartibli differentsial tenglama Legendre tenglamasi deb nomlanadi. Bu tenglamaning umumiy yechimi ikkita Legendre funksiyasining funksiyasi sifatida quyidagicha berilgan

bu yerda
Birinchi turdagi Legendre funksiyasi Ikkinchi turdagi Legendre funksiyasi
Legendrning assotsiatsiyalangan differensial tenglamasi.

Agar bu tenglamada m = 0 ni o'rnatsak, differensial tenglama Legendre tenglamasiga o’zgaradi.
Legendre bog'langan tenglamasining umumiy yechimi shaklida berilgan, bu yerda va birinchi va ikkinchisining bog'langan Legendre funktsiyalari deb ataladi va ular quyidagicha



Legendre tenglamasi va uning yechimlari
Legendre differensial tenglamalari

yoki ekvivalenti

Bu tenglamaning yechimlari n tartibli Legendre funksiyalari deyiladi. Umumiy yechimini

shaklida ifodalash mumkin, bunda va n tartibli birinchi va ikkinchi turdagi Legendre funksiyalaridir.
Agar n = 0, 1, 2, 3,... boʻlsa, funksiyalari Legendre koʻphadlari yoki n tartibli va Rodrige formulasi deyiladi.

Birinchi turdagi ( ) va ikkinchi turdagi ( n = 0, 1, 2, 3) Legendre funktsiyalarivf quyidagi ikkita chizmada ko'rsatilgan

B irinchi turdagi Legendre funktsiyasi,
Ikkinchi turdagi Legendre funksiyasi,
Bir nechta Legendre polinomlari quyida keltirilgan

Qaytalanish formulasi

ular yuqori tartibli polinomlarni olish uchun ishlatilishi mumkin. Barcha holatlarda
va
Legendre polinomlarining ortogonalligi
Legendre polinomlari va −1 ≤ x ≤ 1 oraliqda ortogonal deyiladi.


Legendre polinomlarining ortogonal qatori
−1 ≤ x ≤ 1 oralig‘ida chekli va bir qiymatli bo‘lgan va bu oraliqda chekli son yoki uzilishlarga ega bo‘lgan har qanday f(x) funksiyani Legendre ko‘phadlari qatori sifatida ifodalash mumkin.
Quyidagi

funksiyani ikkala tomonni ga ko‘paytirib, x ga nisbatan x = −1 dan x = 1 gacha integrallashda

hosil bo‘ladi. Legendre ko‘phadlarining ortogonallik xususiyati orqali yozishimiz mumkin.

Pn(x) n juft bo'lganda x ning juft funksiyasi, n toq bo'lganda esa toq funksiya bo'lganligi sababli, f(x) x ning juft funksiyasi bo'lsa, n toq bo'lganda An koeffitsientlari yo'qoladi;
f(x) x ning toq funksiyasi bo'lsa, n juft bo'lganda An koeffitsientlari yo'qoladi.
Shunday qilib, f(x) juft funksiya uchun

holbuki, f(x) toq funksiya uchun bizda mavjud

Agar bo'lganda funksiyani

kabi yozish mumkin, bu erda

Ba'zi maxsus natijalar Legendre polinomiyalari
Integral shakl
.
qiymatlari va da

Shuning uchun tub sonlar x ga nisbatan differensialni bildiradi

Legendre polinomlari uchun funksiya yaratish
Agar A koordinatalari bo'lgan qo'zg'almas nuqta va P o'zgaruvchan nuqta (x, y, z) bo'lsa va AP masofasi R bilan belgilangan bo'lsa, bizda

bo’ladi.
Nyuton potentsial nazariyasidan bilamizki, A nuqtada joylashgan birlik massa tufayli P nuqtadagi potentsial quyidagicha ifodalanadi:

bu yerda C=const. Bu funktsiya Laplasning yechimi ekanligini ko'rsatish mumkin tenglama.
Ba'zi sharoitlarda ni yoki darajalarida kengaytirish maqsadga muvofiqdir, bunda - O boshdan P nuqtagacha bo'lgan masofa.

Legendre polinomlari uchun funksiya yaratish

O'zgartirish orqali biz quyidagini yozishimiz mumkin,

bu erda

Shuning uchun

va vektorlari orasidagi burchakni kiritamiz va yozamiz

bu yerda . Agar va bo'lsin, u holda

Pn(x) uchun hosil qiluvchi funksiya sifatida aniqlanadi. Bizda mavjud binomial kengayish bo'yicha kengayish

bu erda (a)n belgisi

bilan belgilanadi.
Pochammer belgisi deb ataladi va Appel belgisidir.
Shunday qilib, bizda quyidagi bor

uni ushbu ko’rinishda kam yozish mumkin

koeffitsienti Legendre polinomi , shuning uchun
Ikkinchi turdagi Legendre funktsiyalari
n=musbat butun sonlar uchun Legendre tenglamasining ikkinchi va chiziqli mustaqil yechimi ikkinchi turdagi Legendre funksiyalari deb ataladi va quyidagicha aniqlanadi:

bunda

Yuqoridagi (n - 1) darajali ko'phaddir. ning birinchi hadi yoki va da logarifmik yagonalikka ega.
Quyida bir necha palinomlar keltirilgan

juft tartibli funksiyalarni x da toq bo'lishini va aksincha ko'rsatish
Yuqori tartibli polinomlar ni ga o'xshash takrorlanish formulalari yordamida olish mumkin.
Legendre funktsiyalari bilan bog'liq ko'plab munosabatlar murakkab o'zgaruvchan nazariya yordamida olinishi mumkin. Shunday munosabatlardan biri ning integral munosabatidir.

va uning yaratuvchi funksiyasi
.
Qn(x) ning ayrim maxsus qiymatlari