Лекции по восьми основным разделам курса высшей математики. Именно такой объ¨ем мате матики

C

26
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Пример 2.
Решить:
(
x + y = 1 ,
−x − y = −1 .
B
1.
Исследование на совместность.
B =
 
1
1
−1 −1
1
−1
!
⇒
 
1 1
0 0
1
0
!
r
A
= r
B
= r = 1 — система совместна.
2.
Число свободных параметров (неизвестных).
n
− r = 2 − 1 = 1 — один свободный параметр.
3.
Нахождение неизвестных.
(
x + y = 1,
−x − y = −1;
y = c , тогда x = 1
− c .
4.
Проверка.
 
1
1
−1 −1
!  
1
− c
c
!
=
 
1
− c + c
−1 + c − c
!
=
 
1
−1
!
.
Ответ:
−
→
x =
 
1
− c
c
!
C
Второй случай
m = n,
−
→
b = 0.
Очевидно, что однородная система всегда совместна.
r
A
= r
B
= r
6
n , x
i
=
∆
i
∆
, прич¨ем ∆
i
= 0 .
а
) Если ∆
6= 0, то x
i
=
0
∆
= 0 — тривиальное решение.
б
) Если ∆ = 0, то x
i
=

0
0

— бесконечно много решений.

Лекция 4. Системы линейных уравнений и их исследование 27
Пример 3.
Решить:





x
− y + 3z = 0 ,
2x + 3y
− z = 0 ,
3x + 2y + 2z = 0 .
B
1.
A =



1
−1
3
2
3
−1
3
2
2



⇒



1
−1
3
0
5
−7
0
5
−7



⇒
⇒



1
−1
3
0
5
−7
0
0
0



=
⇒
r = 2 .
2.
n = 3 , n
− r = 3 − 2 = 1 .
3.
z = c +





x
− y + 3z = 0
2x + 3y
− z = 0
3x + 2y + 2z = 0
=
⇒
=
⇒
(
x
− y = −3c
2x + 3y = c
∆ =
1
−1
2
3
= 5,
∆
1
=
−3c −1
c
3
=
−8c,
∆
2
=
1
−3c
2
c
= 7c .
x =
∆
1
∆
=
−
8
5
c,
y =
∆
2
∆
=
7
5
c,
z = c .
4.
Проверка:



1
−1
3
2
3
−1
3
2
2



c
5



−8
7
5



=
c
5



−8 − 7 + 15
−16 + 21 − 5
−24 + 14 + 10



=



0
0
0



.
Ответ:
−
→
x =
c
5



−8
7
5



C

28
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Лекция 5. Решение систем линейных
уравнений
Существует несколько методов решения систем линейных
алгебраических уравнений
. В частности, решение системы мо-
жет быть сведено к перемножению двух матриц
.
Третий случай
Число уравнений не равно числу неизвестных: m 6= n.
Пример 1.
Решить:
(
x
− 2y + 3z = 0 ,
2x + y
− z = 0 ;
n = 3 ,
m = 2 .
B
1.
 
1
−2
3
2
1
−1
0
0
!
⇒
 
1
−2
3
0
5
−7
0
0
!
|
{z
}
r=2, система совместна
2.
r = 2 , n
− r = 3 − 2 = 1 .
3.
z = c
+
(
⇒
(
x
− 2y = −3c ,
2x + y = c .
∆ =
1
−2
2
1
= 5,
∆
1
=
−3c −2
c
1
=
−c .
∆
2
=
1
−3c
2
c
= c + 6c = 7c
⇒ x = −
c
5
, y =
7c
5
.
4.
 
1
−2
3
2
1
−1
!



−
c
5
7c
5
c



=
 
−
c
5
−
14c
5
+ 3c
−
2c
5
+
7c
5
− c
!
=
|
{z
}
(2×3)(3×1)=(2×1)

Лекция 5. Решение систем линейных уравнений
29
=
 
−
15c
5
+
15c
5
5c
5
− c
!
=
 
0
0
!
.
Ответ:
−
→
x =



−
c
5
7c
5
c


 C
P
ешение систем линейных алгебраических
уравнений методом обратной матрицы
A
−1
— обратная матрица
F
Матрица называется обратной к данной квадратной мат-
рице, если их произведение равно единичной матрице.
A
· A
−1
= A
−1
· A =
b
1 =
b
E =






1 0
· · · 0
0 1
· · · 0
..
.
..
.
. .. ...
0 0
· · · 1






• Обратная матрица существует только для невырожденной квад-
ратной матрицы.
F
Вырожденной квадратной матрицей называется такая мат-
рица, определитель которой равен нулю.
Задача
1
Пусть A
−
→
x =
−
→
b , где A — квадратная матрица.
Выразить −
→
x через A
−1
.
I
A
−1
| A
−
→
x =
−
→
b
⇒ A
−1
A
−
→
x = A
−1
−
→
b
т.к.
b
1
−
→
x =
−
→
x , то
−
→
x = A
−1
−
→
b
— операторная форма
x
i
=
n
X
j=1
a
ij
−1
b
j
— тензорная форма
J

30
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Задача
2
Hайти элементы обратной матрицы a
ij
−1
.
I
Для нахождения элементов обратной матрицы воспользуемся
формулой Крамера.
x
i
=
∆
i
∆
, ∆
i
=
n
X
j=1
(
−1)
i+j
b
j
M
ji
x
i
=
n
X
j=1
a
ij
−1
b
j
, x
i
=
∆
i
∆
=
n
X
j=1
(
−1)
i+j
M
ji
∆
b
j
|
{z
}
w
w
w

a
−1
ij
=
(
−1)
i+j
M
ji
∆
J
Пример 2.
Найти A
−1
, если A =
 
1 2
3 4
!
.
B
M
11
= 4 , M
12
= 3 ,
M
21
= 2 , M
22
= 1 .
∆ =
1 2
3 4
=
−2.
a
11
−1
=
−2 , a
12
−1
= 1 ,
a
21
−1
=
3
2
,
a
22
−1
=
−
1
2
.
Проверка:
 
−2
1
3
2
−
1
2
!  
1 2
3 4
!
=
 
1 0
0 1
!
.
Ответ:
A
−1
=
 
−2
1
3
2
−
1
2
!
C

Лекция 5. Решение систем линейных уравнений
31
Пример 3.
Решить методом обратной матрицы:
(
x + 2y = 4 ,
3x + 4y = 12 .
B
−
→
x = A
−1
−
→
b =
 
−2
1
3
2
−
1
2
!  
4
12
!
=
 
4
0
!
.
Проверка:
 
1 2
3 4
!  
4
0
!
=
 
4
12
!
.
Ответ:
−
→
x =
 
4
0
!
C
Вычисление обратной матрицы методом Гаусса
Алгоритм вычисления обратной матрицы методом Гаусса со-
стоит в следующем преобразовании:
(A
|E) ⇒ (E|A
−1
)
которое пpоводится посpедством тех же элементаpных дейст-
вий, что и при вычислении опpеделителей.
Пример 4.
Найти A
−1
, если A =
 
1 2
3 4
!
.
B
 
1 2
3 4
1 0
0 1
!
=
⇒
 
1
2
0
−2
1 0
−3 1
!
=
⇒
=
⇒
 
1
0
0
−2
−2 1
−3 1
!
=
⇒
 
1 0
0 1
−2
1
3
2
−
1
2
!
.
Ответ: A
−1
=
 
−2
1
3
2
−
1
2
!
C

32
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Лекция 6. Скалярное произведение
векторов
В этой лекции мы углубим школьное знакомство со скалярным
произведением векторов
, а также с преобразованием векто-
ров из прямоугольной системы координат в косоугольную
.
Вектор в n-мерном пространстве
F
Множество R называется линейным пространством, а его
элементы — векторами, если для любых двух векторов
−
→
a
и
−
→
b определена их сумма
−
→
a +
−
→
b
∈ R и произведение
α
−
→
a
∈ R, где α — любое число; и выполнены условия:
1.
−
→
a +
−
→
b =
−
→
b +
−
→
a .
2. (
−
→
a +
−
→
b ) +
−
→
c =
−
→
a + (
−
→
b +
−
→
c ).
3. α
−
→
a + α
−
→
b = α(
−
→
a +
−
→
b ).
4. α
−
→
a + β
−
→
a = (α + β)
−
→
a .
5. α(β
−
→
a ) = (αβ)
−
→
a .
6. 1
·
−
→
a =
−
→
a .
7.
−
→
a +
−
→
0 =
−
→
a , где
−
→
0 — нуль-вектор.
8.
−
→
a
−
−
→
a =
−
→
0 .
F
Заданные векторы пространства R называют линейно за-
висимыми, если существует равная нулю нетривиальная
линейная комбинация этих векторов:
n
X
k=1
α
k
−
→
a
k
= 0 , где α
k
6= 0 .
В противном случае эти векторы называют линейно неза-
висимыми.

Лекция 6. Скалярное произведение векторов
33
F
Размерность пространства — это максимальное число со-
держащихся в н¨ем линейно независимых векторов.
F
Упорядоченную систему n линейно независимых векторов
называют базисом пространства R
n
.
F
Вектор в линейном n-мерном пространстве R
n
представ-
ляет собой матрицу размерности (n × 1) или (1 × n).
−
→
a = (n
× 1) =






a
1
a
2
..
.
a
n






−
→
a
T
= (1
× n) = (a
1
a
2
. . . a
n
) — транспонированный вектор.
Скалярное произведение векторов
F
Скалярным произведением двух ненулевых векторов назы-
вается матричное произведение этих векторов (строка на
столбец), результатом которого является скаляр:

−
→
a ,
−
→
b

= (a
1
a
2
. . . a
n
)






b
1
b
2
..
.
b
n






= a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ . . . + a
n
b
n

−
→
a ,
−
→
b

=
−
→
a
T
−
→
b =
−
→
a
·
−
→
b
• Выше приведены различные обозначения скалярного произве-
дения векторов. Знак транспонирования у векторов обычно для
краткости опускают.
(1
× n)(n × 1) = (1 × 1) — скаляр.

34
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
a
2
=
−
→
a
·
−
→
a = a
1
2
+ a
2
2
+ . . . + a
n
2
—
квадрат модуля
вектора
−
→
a
= a =
q
a
1
2
+ a
2
2
+ . . . + a
n
2
=
r
−
→
a
·
−
→
a

—
модуль
вектора
• В скалярном произведении комплексных векторов первый век-
тор должен быть подвергнут не только операции транспониро-
вания, но и комплексного сопряжения.
Вектор в тp¨
ехмерном пространстве
F
Вектор в тp¨ехмерном пространстве в декаpтовой системе
кооpдинат опpеделяется одним из выpажений
−
→
x = (x y z) =
−
→
i x +
−
→
j y +
−
→
k z =



x
y
z



,
где x, y, z — кооpдинаты или пpоекции вектоpа, а
−
→
i =



1
0
0



,
−
→
j =



0
1
0



,
−
→
k =



0
0
1



единичные оpтогональные вектоpы, задающие декаpтов
базис.
−
→
a
·
−
→
b = a
x
b
x
+ a
y
b
y
+ a
z
b
z
—
скалярное произведение
в т
p¨ехмерном пространстве
Задача
1
Показать, что векторы
−
→
i ,
−
→
j ,
−
→
k являются единичными и оp-
тогональными (самостоятельно).

Лекция 6. Скалярное произведение векторов
35
Задача
2
Установить связь между направляющими косинусами вектора.
6
-
-
x
y
z
−
→
a
β
α
γ
6
−
→
i
−
→
k
−
→
j




*
I
−
→
a = a(
−
→
i cos α +
−
→
j cos β +
+
−
→
k cos γ) ,
−
→
a
·
−
→
i = a cos α = пр
~i
−
→
a
—
проекция вектора
−
→
a на базис-
ный вектор
−
→
i , т.к.
(cos α cos β cos γ)



1
0
0



= cos α
cos α =
пр
~i
−
→
a
a
,
cos β =
пр
~j
−
→
a
a
,
cos γ =
пр
~k
−
→
a
a
−
→
a
·
−
→
a = a
2
(cos
2
α + cos
2
β + cos
2
γ) = a
2
|
{z
}
⇓
cos
2
α + cos
2
β + cos
2
γ = 1
J
Задача
3
Выразить
−
→
a
·
−
→
b через косинус угла между этими векторами.
6
-
z
x
y
−
→
a
ϕ
6
−
→
b






*
I
Вектор −
→
b направим по оси
y, тогда
−
→
b = b



0
1
0



,
−
→
a = a



cos α
cos ϕ
cos γ



−
→
a
·
−
→
b = ab (0
· cos α +
+1
· cos ϕ + 0 · cos γ) = ab cos ϕ.

36
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
• Скалярное произведение векторов равно произведению моду-
лей этих векторов на косинус угла между ними.
−
→
a
·
−
→
b = ab cos ϕ
=
⇒ cos ϕ =
−
→
a
·
−
→
b
ab
= cos
d
−
→
a
−
→
b
J
• Скалярное произведение ортогональных (перпендикулярных)
векторов равно нулю.
• Сказанное верно в n-мерном пространстве.
H
еравенство Коши-Буняковского
Задача
4
Показать, что в n-мерном пространстве выполняется неравен-
ство

−
→
a
·
−
→
b

2
6

−
→
a
·
−
→
a

−
→
b
·
−
→
b

.
I
Введ¨ем вспомогательный вектор
−
→
a + λ
−
→
b
Очевидно, что

−
→
a + λ
−
→
b

−
→
a + λ
−
→
b

>
0

−
→
a
·
−
→
a

+ 2λ

−
→
a
·
−
→
b

+ λ
2

−
→
b
·
−
→
b

>
0
Пусть
−
→
a
·
−
→
a = C,
Тогда
Aλ
2
+ Bλ + C
>
0,
2
−
→
a
·
−
→
b = B,
если
D = B
2
− 4AC
6
0.
−
→
b
·
−
→
b = A.
Отсюда:
4

−
→
a
·
−
→
b

2
− 4

−
→
a
·
−
→
a

−
→
b
·
−
→
b

6
0
|
{z
}
⇓

−
→
a
·
−
→
b

2
6

−
→
a
·
−
→
a

−
→
b
·
−
→
b

J

Лекция 6. Скалярное произведение векторов
37
Вектор в косоугольном базисе тр¨
ех векторов
Задача
5
Пусть задано 4 вектора
−
→
a ,
−
→
b ,
−
→
c и
−
→
d в декартовой системе
координат. Требуется найти вектор
−
→
d в базисе
n
−
→
a ,
−
→
b ,
−
→
c
o
.
-
-
−
→
b
−
→
a
λ
1
−
→
a
λ
2
−
→
b
−
→
d




















3
I
−
→
d = λ
1
−
→
a + λ
2
−
→
b + λ
3
−
→
c
λ
1
, λ
2
, λ
3
= ?
Если расписать это векторное равенство,
то получим систему линейных алгебраи-
ческих уравнений:





λ
1
a
x
+ λ
2
b
x
+ λ
3
c
x
= d
x
m = 3
λ
1
a
y
+ λ
2
b
y
+ λ
3
c
y
= d
y
n = 3
λ
1
a
z
+ λ
2
b
z
+ λ
3
c
z
= d
z
∆
6= 0





⇒ λ
i
=
∆
i
∆
Ответ:
−
→
d =
∆
1
∆
−
→
a +
∆
2
∆
−
→
b +
∆
3
∆
−
→
c
J
Пример 1.
Пусть −
→
a =



1
0
0



,
−
→
b =



1
1
0



,
−
→
c =



1
1
1



и −
→
d =



2
0
−1



. Hайти вектор
−
→
d в базисе
n
−
→
a ,
−
→
b ,
−
→
c
o
.
B
∆ =
1 1 1
0 1 1
0 0 1
= 1, ∆
1
=
2
1 1
0
1 1
−1 0 1
=
1
2
2 1 1
0 1 1
0 1 3
= 2.
Аналогично находятся: ∆
2
= 1, ∆
3
=
−1.
Ответ:
−
→
d = 2
−
→
a +
−
→
b
−
−
→
c
или −
→
d = (2, 1,
−1) в базисе
n
−
→
a ,
−
→
b ,
−
→
c
o
.
C

38
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Лекция 7. Векторное и смешанное
произведение векторов
Результатом перемножения двух векторов может быть не
только скаляр
, но и вектор, скалярное умножение которого
на третий вектор да
¨ет смешанное произведение.
Задача
1
Hайти вектор, ортогональный двум заданным векторам.
Дано:
−
→
a =



a
x
a
y
a
z



,
−
→
b =



b
x
b
y
b
z



. Hайти вектор
−
→
N
⊥
−
→
a ,
−
→
b .
I
По условию и свойству скалярного произведения
−
→
N
·
−
→
a =
−
→
N
·
−
→
b = 0

x y z




a
x
a
y
a
z



=

x y z