Лекции по восьми основным разделам курса высшей математики. Именно такой объ¨ем мате матики





b
x
b
y
b
z



= 0.
или
и тем самым задача сводится к решению системы:
(
xa
x
+ ya
y
+ za
z
= 0,
xb
x
+ yb
y
+ zb
z
= 0;
m = 2,
n = 3.
1.
Если векторы коллинеарны, то
−
→
a = λ
−
→
b и тогда
 
λb
x
λb
y
λb
z
b
x
b
y
b
z
0
0
!
=
⇒ λ
 
b
x
b
y
b
z
0
0
0
0
0
!
.
-
C
C
CCO
C
C
CCW






-
−
→
b
−
→
a
Отсюда r = 1, n − r = 3 − 1 = 2.
Здесь решением является множество
векторов, лежащих в плоскости, орто-
гональной векторам
−
→
a = λ
−
→
b .

Лекция 7. Векторное и смешанное произведение векторов
39
2.
Если −
→
a
6= λ
−
→
b , то r = 2, n
− r = 3 − 2 = 1
(один свободный параметр).
z = c
+
(
=
⇒
xa
x
+ ya
y
=
−ca
z
,
xb
x
+ yb
y
=
−cb
z
;
∆ =
a
x
a
y
b
x
b
y
, ∆
1
=
−ca
z
a
y
−cb
z
b
y
= c
a
y
a
z
b
y
b
z
.
x =
c
a
y
a
z
b
y
b
z
a
x
a
y
b
x
b
y
, y =
−c
a
x
a
z
b
x
b
z
a
x
a
y
b
x
b
y
.
Зададим c таким образом, чтобы решение упростилось, а имен-
но, c = ∆. Тогда
−
→
N =
−
→
i
a
y
a
z
b
y
b
z
−
−
→
j
a
x
a
z
b
x
b
z
+
−
→
k
a
x
a
y
b
x
b
y
=
−
→
i
−
→
j
−
→
k
a
x
a
y
a
z
b
x
b
y
b
z
F
Векторным произведением двух векторов называется век-
тор ортогональный этим векторам и определяемый фор-
мулой:
−
→
a
×
−
→
b =
h
−
→
a ,
−
→
b
i
=
−
→
i
−
→
j
−
→
k
a
x
a
y
a
z
b
x
b
y
b
z
J
Свойства векторного произведения
1. Векторное произведение коллинеарных векторов равно ну-
лю.
2.
h
λ
−
→
a ,
−
→
b
i
= λ
h
−
→
a ,
−
→
b
i
.

40
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
3.
h
−
→
a ,
−
→
b
i
=
−
h
−
→
b ,
−
→
a
i
.
• Первые три свойства следуют из свойств определителя.
Задача
2
Выразить модуль векторного произведения через угол между
векторами.
6
z
x
y
−
→
a
ϕ
−
→
b







-
−
→
N
|
−
→
N
|
-
I
Выбираем систему коорди-
нат таким образом, чтобы
−
→
a = (a, 0, 0),
−
→
b = (b cos ϕ, b sin ϕ, 0).
Векторное произведение, после
подстановки
−
→
a и
−
→
b в форму-
лу, полученную в предыдущей
задаче, принимает вид:
−
→
a
×
−
→
b =
−
→
i
−
→
j
−
→
k
a
0
0
b cos ϕ b sin ϕ
0
=
−
→
k
a
0
b cos ϕ b sin ϕ
=
=
−
→
k ab sin ϕ.
−
→
a
×
−
→
b
= ab sin ϕ = S =
−
→
N
 J
4. Модуль векторного произведения равен площади паралле-
лограмма, построенного на этих векторах.
Смешанное произведение векторов
F
Смешанным произведением тр¨ех векторов называется ска-
лярное произведение одного из векторов на векторное про-
изведение двух других.

Лекция 7. Векторное и смешанное произведение векторов
41
Задача
3
Представить смешанное произведение векторов в виде опреде-
лителя.
I
Поскольку
−
→
a
×
−
→
b =
−
→
i

−
→
a
×
−
→
b

x
+
−
→
j

−
→
a
×
−
→
b

y
+
−
→
k

−
→
a
×
−
→
b

z
, то

−
→
c ,
−
→
a
×
−
→
b

= c
x

−
→
a
×
−
→
b

x
+ c
y

−
→
a
×
−
→
b

y
+ c
z

−
→
a
×
−
→
b

z
=
= c
x
a
y
a
z
b
y
b
z
− c
y
a
y
a
z
b
y
b
z
+ c
z
a
y
a
z
b
y
b
z
=
c
x
c
y
c
z
a
x
a
y
a
z
b
x
b
y
b
z
.

−
→
c ,
−
→
a
×
−
→
b

=
c
x
c
y
c
z
a
x
a
y
a
z
b
x
b
y
b
z
—
смешанное
произведение
векторов
J
Свойства смешанного произведения
1. Смешанное произведение компланарных векторов равно
нулю.
F
Компланарными векторами называются векторы, лежа-
щие в одной плоскости.
Задача
4
Доказать 1-ое свойство.
I
Если
−
→
c лежит в той же плоскости, что и
−
→
a и
−
→
b , то
−
→
c = λ
1
−
→
a + λ
2
−
→
b .

42
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Тогда смешанное произведение векторов −
→
c ,
−
→
a и
−
→
b равно
λ
1
a
x
+ λ
2
b
x
λ
1
a
y
+ λ
2
b
y
λ
1
a
z
+ λ
2
b
z
a
x
a
y
a
z
b
x
b
y
b
z
= 0
J
2. Ч¨етная перестановка векторов в смешанном произведении
его не меняет:

−
→
c ,
h
−
→
a ,
−
→
b
i
=

−
→
a ,
h
−
→
b ,
−
→
c
i
=

−
→
b ,
h
−
→
c ,
−
→
a
i
.
Задача
5
Доказать 2-ое свойство.
I
Согластно известному свойству определителя (Лекция 2)
c
x
c
y
c
z
a
x
a
y
a
z
b
x
b
y
b
z
=
a
x
a
y
a
z
b
x
b
y
b
z
c
x
c
y
c
z
=
b
x
b
y
b
z
c
x
c
y
c
z
a
x
a
y
a
z
ч¨етная перестановка строк его не изменит.
J
3. Модуль смешанного произведения равен объ¨ему паралле-
пипеда, построенного на этих векторах.
Задача
6
Доказать 3-е свойство.













3
-
6
−
→
a
−
→
b
−
→
c
ϕ
−
→
a
×
−
→
b
6
?
h
I

−
→
c ,
−
→
a
×
−
→
b

=
= c
−
→
a
×
−
→
b
cos ϕ =
=
n
h = c cos ϕ
o
=
= Sh = Vпараллепипеда
J

Лекция 8. Уравнения плоскости и прямой
43
Лекция 8. Уравнения плоскости и прямой
В различных по
pазмеpности пpостpанствах одно и то же ли-
нейное уравнение описывает
pазличные геометpические объек-
ты
.
Общие уравнения плоскости и прямой
Задача
1
Пусть плоскость задана тремя точками K, N и L с координа-
тами (x
1
, y
1
, z
1
), (x
2
, y
2
, z
2
) и (x
3
, y
3
, z
3
) соответственно.
Hайти условия принадлежности произвольной точки M (x, y, z)
этой плоскости.
x
-
y
z
-



=
M
K
N
PPP
P
q
L
D
6
I
Pешение будем
искать, основываясь на
известном свойстве сме-
шанного произведения
для компланаpных век-
торов:
−−→
KM
·

−−→
KN
×
−→
KL

= 0
Поскольку
−−→
KM = (x
− x
1
,
y
− y
1
,
z
− z
1
)
−−→
KN = (x
2
− x
1
, y
2
− y
1
, z
2
− z
1
)
−→
KL = (x
3
− x
1
, y
3
− y
1
, z
3
− z
1
)
, то
x
− x
1
y
− y
1
z
− z
1
x
2
− x
1
y
2
− y
1
z
2
− z
1
x
3
− x
1
y
3
− y
1
z
3
− z
1
= 0.
=
⇒
(x
− x
1
)
y
2
− y
1
z
2
− z
1
y
3
− y
1
z
3
− z
1
|
{z
}
A
+(y
− y
1
)
z
2
− z
1
x
2
− x
1
z
3
− z
1
x
3
− x
1
|
{z
}
B
+

44
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
+(z
− z
1
)
x
2
− x
1
y
2
− y
1
x
3
− x
1
y
3
− y
1
|
{z
}
C
= 0;
A(x
− x
1
) + B(y
− y
1
) + C(z
− z
1
) = 0
|
{z
}
;
⇓
Ax + By + Cz + D = 0 —
общее уравнение
плоскости
J
Задача
2
Определить, какой геометрический объект описывается уравне-
нием z = 0.
I
пространство:
одномерное
{z}
z = 0
точка
двухмерное
{x, z}
z = 0
x - любые
прямая
тр¨ехмерное {x, y, z} z = 0 x, y - любые плоскость
J
Задача
3
Исследовать уравнение прямой, заданной пересечением двух плос-
костей.
I
(
Ax + By + Cz + D = 0
A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0
—
общее уравнение
прямой
1. Если (A
1
B
1
C
1
) = λ (ABC), т.е. векторы коллинеарны.
 
A
B
C
A
1
B
1
C
1
−D
−D
1
!
⇒
 
A B C
0
0
0
−D
−D
1
+ λD
!
,
r
A
= 1
6= r
B
= 2.
Система несовместна и плоскости не пересекаются.
2. Если (A
1
B
1
C
1
)
6= λ (ABC), т.е. векторы неколлинеарны.
r
A
= r
B
= 2 и система совместна; n
− r = 3 − 2 = 1.

Лекция 8. Уравнения плоскости и прямой
45
L
L
LHHH
HH
HH
H
L
L
L
L
L
L
L
L
L









L
L
L



H
H
HH
HH

(
By + Cz
=
−Ax − D,
B
1
y + C
1
z =
−A
1
x
− D
1
.
y =
−Ax − D
C
−A
1
x
− D
1
C
1
B
C
B
1
C
1
= kx + l.
Аналогично z = k
1
x + l
1
.
-
x
6
y
α
)
l
0
Если z = 0, т.е. A
1
= B
1
= D
1
= 0, то
заданная система уравнений да¨ет извест-
ное со школы уравнение прямой на плос-
кости
:
y = kx + l
где k = tg α − угловой коэффициент.
J
Параметрические уравнения плоскости и прямой
Задача
4
Пусть плоскость задана двумя векторами
−
→
p и
−
→
q , лежащими
на ней, и точкой M
0
с координатами (x
0
, y
0
, z
0
).
Найти условия принадлежности точки M(x, y, z) плоскости D.
x
-
y
z





1
−
→
p
M
−
→
q
M
0
0
−
→
r
0
−
→
r
-
HH
HHH
j

*
6
I
λ
1
−
→
p + λ
2
−
→
q =
−−−→
M
0
M =
=
−
→
r
−
−
→
r
0
.
Отсюда





λ
1
p
x
+ λ
2
q
x
= x
− x
0
λ
1
p
y
+ λ
2
q
y
= y
− y
0
λ
1
p
z
+ λ
2
q
z
= z
− z
0
⇓
параметрическое уравнение
плоскости
n = 5, r = 3, n
− r = 2 — число свободных параметров.
J

46
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Задача
5
Пусть прямая задана направляющим вектором
−
→
a = (a
x
a
y
a
z
)
и точкой M
0
(x
0
, y
0
, z
0
). Найти условия принадлежности точки
M (x, y, z) этой прямой.
x
y
z

B
B
B
B
BBM





*
-
6

















*
−
→
a
M
0
M
−
→
r
−
→
r
0
I
−−−→
M
0
M =
−
→
r
−
−
→
r
0
= λ
−
→
a





x
− x
0
= λa
x
y
− y
0
= λa
y
z
− z
0
= λa
z
⇓
параметрическое
уравнение прямой
Исключая параметр λ получим:
x
− x
0
a
x
=
y
− y
0
a
y
=
z
− z
0
a
z
—
каноническое
уравнение прямой
J
Пример 1.
Пусть −
→
a = (2
− 1 0) и точка M
0
(1, 2, 1) при-
надлежат прямой. Записать каноническое уравнение этой пря-
мой.
B
x
− 1
2
=
y
− 2
−1
=
z
− 1
0
C
Векторные уравнения плоскости и прямой
Задача
6
Пусть плоскость задана нормальным единичным вектором
−
→
n

−
→
n
= 1

и точкой на плоскости M
0
(x
0
, y
0
, z
0
).
Записать уравнение этой плоскости.

Лекция 8. Уравнения плоскости и прямой
47
F
Hормальным вектором плоскости называется такой век-
тор, который ортогонален любому вектору, лежащему на
этой плоскости.
x
-
y
z
−
→
r
0
−
→
r
HH
H
j
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
#
#
#
##
#
#
#
##
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
−
→
n
M
0
M








7
1
6









I
По условию −−−→
M
0
M перпен-
дикулярен
−
→
n . По свойству
скалярного произведения:
−−−→
M
0
M
·
−
→
n = 0.
Поскольку
−
→
r
−
−
→
r
0
=
−−−→
M
0
M ,
то получим

−
→
r
−
−
→
r
0

·
−
→
n = 0 — векторное уравнение плоскости
J
Задача 7
Пусть вектор −
→
a и точка
M
0
(x
0
, y
0
, z
0
) принад-
лежат прямой. Записать уравнение прямой через векторы, без
привлечения параметра.
x
y
z

B
B
B
B
BBM





*
-
6

















*
−
→
a
M
0
M
−
→
r
−
→
r
0
I
Поскольку
−−−→
M
0
M =
−
→
r
−
−
→
r
0
−
→
a ,
то используя свойство вектор-
ного произведения, получим

−
→
r
−
−
→
r
0

×
−
→
a = 0 — векторное уравнение прямой
J

48
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Лекция 9. Уравнения прямой и плоскости
Одна и та же прямая или плоскость могут быть описаны раз
-
личными уравнениями
. Выбор того или иного уравнения опре-
деляется постановкой задачи
.
Уравнение плоскости в отрезках
Задача
1
Hайти связь между уравнениями
Ax + By + Cz + D = 0 (1) и
x
a
+
y
b
+
z
c
= 1 (2) ,
и определить смысл a, b, c.
x
y
z






H
H
H
H
H
H
H














a
b
c
6
-
I
Вопрос: Как осуществить пе-
реход от (1) к (2)?
Ответ: Поделить на −D.
Ax
−D
+
By
−D
+
Cz
−D
= 1,
a =
−
D
A
, b =
−
D
B
, c =
−
D
C
.
x
a
+
y
b
+
z
c
= 1 — уравнение плоскости в отрезках
J
Уравнение прямой в отрезках
Задача
2
Преобразовать общее уравнение прямой
(
Ax + By + Cz + D = 0,
z = 0;
к уравнению прямой в отрезках.

Лекция 9. Уравнения прямой и плоскости
49
-
6
y
x
0
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l





b
|
{z
}
a
I
Ax + By + D = 0
| : (−D)
|
{z
}
⇓
x
a
+
y
b
= 1 —
уравнение
прямой
в отрезках
где a = −
D
A
b =
−
D
B
J
Уравнение плоскости в нормальном виде
Задача
3
Пусть нормальный вектор плоскости задан направляющими ко-
синусами
−
→
n =



cos α
cos β
cos γ



,
и известно кратчайшее расстояние p от этой
плоскости до начала координат. Уравнение
плоскости выразить через эти величины.
x
-
y
z
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
#
#
#
##
#
#
#
##
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
~n
M
0
M
6
-

p
>
*











−
→
r
0
−
→
r
I

−
→
r
−
−
→
r
0

·
−
→
n = 0
−
→
r
−
→
n =
−
→
r
0
−
→
n ,
−
→
r =



x
y
z



(x y z)



cos α
cos β
cos γ



=
−
→
r
0
−
→
n ,
где
−
→
n
= 1.
Поскольку −
→
r
0
−
→
n = пр
−
→
n
−
→
r
0
= p, то получим
x cos α + y cos β + z cos γ = p
—
уравнение плоскости
в нормальном виде
J

50
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Задача
4
Дано уравнение плоскости в общем виде.
Hайти расстояние p от плоскости до начала координат.
I
Вопрос: Каким образом вы предлагаете решать эту задачу?
Ответ: Необходимо перейти от уравнения плоскости в общем