Лекция №1 кинематика материальной точки план лекции Кинематика материальной точки

1.4.УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ И УГЛОВОЕ УСКОРЕНИЕ
Рассмотрим твердое тело, которое враща­ется вокруг неподвижной оси. Тогда от­дельные точки этого тела будут описывать окружности разных радиусов, центры ко­торых лежат на оси вращения. Пусть не­которая точка движется по окружности радиуса R (рис.6). Ее положение через промежуток времени t зададим углом . Элементарные (бесконечно малые) углы поворота рассматривают как векторы. Мо­дуль вектора d равен углу поворота, а его направление совпадает с направле­нием поступательного движения острия винта, головка которого вращается в на­правлении движения точки по окружности, т. е. подчиняется правилу правого, винта (рис.6). Векторы, направления которых связываются с направлением вращения, называются псевдовекторами или акси­альными векторами. Эти векторы не имеют определенных точек приложения: они мо­гут откладываться из любой точки оси вращения.
Угловой скоростью называется вектор­ная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени:

Угловым ускорением называется век­торная величина, равная первой производ­ной угловой скорости по времени:

При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой ско­рости. При ускоренном движении вектор
Во многих случаях вращательное движение характеризуется частотой - числом вращений в единицу времени. - время, затраченное на одно полное вращение. Период и частота взаимосвязаны между собой формулой:
T=1/ (1.6)
Например, если тело вращается с частотой 3 оборотов в секунду, то период обращения равен 1/3 с. Если тело двигается по окружности (с длиной 2r) с постоянной скоростью проходит расстояние 2r, то затраченное время будет равно . Тогда мы имеем²
_(1.7)
1.5.ПАДАЮЩИЕ ТЕЛА
Одним из наиболее распространенных примеров равноускоренного движения является движение тела, свободно падающего по вертикали на землю. Тот факт, что падающее тело ускоряется, может и не быть на первый взгляд очевидным. Может показаться (и в этом многие были убеждены вплоть до эпохи Галилея), что более тяжелые тела падают быстрее, чем легкие, а скорость падения пропорциональна тяжести тела.
Галилей применил свой новый научный метод абстрагирования и упрощения, который состоит в попытке представить себе, что произойдет в идеализированных (упрощенных) ситуациях. Для случая свободного падения Галилей постулировал, что при отсутствии воздуха или другой среды с сопротивлением все тела будут падать с одинаковым постоянным ускорением. Он показал, что, согласно этому постулату, расстояние, проходимое телом, падающим из состояния покоя, пропорционально квадрату времени (D ~ t²). Это можно видеть из уравнения (2.96), однако впервые такую зависимость получил Галилей. Действительно, один из величайших вкладов Галилея в науку состоит в том, что он установил важные математические соотношения и показал их большое значение. Другой великий вклад Галилея в том, что он предложил теорию, имеющую конкретные экспериментальные следствия, которые можно проверить количественно (D ~ t²).
В поддержку своего утверждения о том, что скорость падающих тел увеличивается при падении, Галилей привел следующий аргумент: тяжелый камень, сброшенный с высоты 2 м, загонит сваю в землю значительно глубже, чем тот же камень, упавший лишь с 10 см. Ясно, что в первом случае камень должен ускориться больше. Как мы упомянули выше, Галилей утверждал, что любые предметы (как тяжелые, так и легкие) падают с одинаковым ускорением, по крайней мере, при отсутствии воздуха. Правда, здравый смысл может подсказать, что древние были ближе к истине. Действительно, если вы держите лист бумаги горизонтально в одной руке, а более тяжелое тело, скажем бейсбольный мяч, в другой и высвобождаете их одновременно (рис. 7 а), то очевидно, что более тяжелое тело достигнет земли первым. Повторите этот эксперимент, но на этот раз сомните бумагу в маленький комок (рис. 7 б). Вы увидите, что оба тела достигнут пола почти одновременно.

Рис. 7 (a) – мяч и листок бумаги брошены одновременно; (б) тот же опыт, но бумага скомкана.	Рис. 8. Камень и перо брошены одновременно в воздухе (а) и в вакууме

Галилей был уверен, что воздух действует на очень легкие тела с большой площадью поверхности как особый вид трения. В камере, из которой удален воздух, даже легкие тела, такие, как перо или удерживаемый горизонтально лист бумаги, будут падать с тем же ускорением, что и тяжелые тела (рис.8). Во времена Галилея подобная демонстрация в вакууме была, разумеется, невозможна, что делает его заслуги еще более выдающимися. Галилея часто называют «отцом современной науки» не только за содержание его научных достижений (открытий в астрономии, понятия инерции, свободного падения), но также за его стиль и подход к науке (идеализация и упрощение, математическое выражение теории, предсказание экспериментально проверяемых следствий).

Вклад Галилея в наше понимание движения падающих тел можно обобщить следующим образом. В данном месте на Земле и в отсутствие сопротивления воздуха все тела падают с одним и тем лее постоянным ускорением. Это ускорение, обусловленное силой тяжести, называется ускорением свободного падения и обозначается символом _{. Его численное значение равно .}
В действительности несколько меняется в зависимости от географической широты местности (что связано с вращением Земли), а также в зависимости от высоты над уровнем моря. Однако эти изменения столь малы, что в большинстве случаев мы будем ими пренебрегать. Во многих случаях сопротивление воздуха оказывает незначительное влияние, и большей частью мы также будем им пренебрегать. Однако,
если расстояние, проходимое падающим телом, очень велико, сопротивление воздуха будет оказывать заметное влияние даже на тяжелые предметы.
Имея дело со свободно падающими телами, можно пользоваться уравнениями (2.9), в которых вместо а нужно подставить величину с указанным выше числовым значением. Кроме того, поскольку тело движется по вертикали, вместо нужно подставить , а заменить на ( , если не оговорено другое значение). Направление у можно выбрать произвольным образом, т.е. считать его положительным при направлении вверх или вниз, но это соглашение необходимо сохранять неизменным при решении задачи³.