Лекция 12. Алгоритм разложения цифровой информации в ряды Фурье. Оценка надежности

Пример 1.
Вычислить определённые интегралы

где принимает натуральные значения.
Решение: интегрирование проводится по переменной « » и на данном этапе дискретная переменная « » считается константой. Во всех интегралах подводим функцию под знак дифференциала:
а)
Перед применением формулы Ньютона-Лейбница полезно мысленно либо на черновике выполнить проверку. Используя правило дифференцирования сложной функции и не забывая, что – это константа, находим производную от первообразной:
–
получена исходная подынтегральная функция, как оно и должно быть.
После интегрирования константа сразу выносится за скобки, и стандартная подстановка проходит без её участия: сначала в вместо « » подставляем верхний предел (ноль), затем нижний предел («минус »). Синус нуля равен нулю, и как только что отмечалось, при любом натуральном « ».

Кстати, результат тут виден сразу – интеграл от нечётной функции по симметричному относительно нуля отрезку равен нулю.
Не забываем о промежуточной проверке первообразной:

И на завершающем этапе даже лучше не проводить замены
,
а воспользоваться чётностью косинуса:

Крайне желательно научиться выполнять некоторые действия в уме и записывать решение сокращённо:

Следующие два пункта отличаются усложнённой константой:

Проверка:
Подстановку распишем очень подробно:

Здесь на последнем этапе внесли «минус» в скобку и сделали ответ более компактным, возьмите на заметку этот приём. Также обратите внимание, что в результате применения формулы Ньютона-Лейбница, получено не число, а числовая последовательность.
Короткая версия решения, к которой хорошо бы пристреляться, выглядит так:

Привыкаем:

Четыре оставшихся пункта самостоятельно. Постарайтесь оформить интегралы коротким способом.