Лекция 12. Алгоритм разложения цифровой информации в ряды Фурье. Оценка надежности

Лекция 12. Алгоритм разложения цифровой информации в ряды Фурье. Оценка надежности
План

1. 
   Общие сведения о рядах Фурье.
   
2. 
   Разложение функции в ряд Фурье на промежутке
   
3. 
   Разложение функции в ряд Фурье на произвольном периоде
   
4. 
   Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций
   

Основные понятия: аналоговый сигнал, цифровой сигнал, дискретный сигнал, звуковая информация, преобразование, спектр, ряд, числовая последовательность, тригонометрический ряд, период разложения, полупериод, период разложения.


1.Общие сведения о ряде Фурье.



Аналоговым называется такой сигнал, который может быть представлен непрерывной линией из множества значений, определенных в каждый момент времени относительно временной оси. Значения аналогового сигнала произвольны в каждый момент времени, поэтому он может быть в принципе представлен как некая непрерывная функция (зависящая от времени как от переменной) либо как кусочно-непрерывная функция времени.
Если некий сигнал принимает произвольные значения лишь в отдельные моменты времени, то такой сигнал называют дискретным. Чаще всего на практике применяются дискретные сигналы, распределенные по равномерной временной решетке, шаг которой называется интервалом дискретизации.
Дискретный сигнал принимает определенные не нулевые значения лишь в моменты дискретизации, то есть он является не непрерывным в отличие от аналогового сигнала. Если из звукового сигнала вырезать небольшие кусочки определенного размера через равные интервалы, такой сигнал можно будет назвать дискретным.
Когда дискретный сигнал принимает только какие-то фиксированные значения (которые могут быть расположены по сетке с определенным шагом), такие что они могут быть представлены как количество квантовых величин (численное значение какой-либо квантованной переменной микроскопического объекта, характеризующее состояние этого объекта), такой дискретный сигнал называется цифровым. То есть цифровой сигнал — это такой дискретный сигнал, который квантован не только по промежуткам времени, но и по уровню.
Практически дискретные и цифровые сигналы в ряде задач отождествляются, и могут быть легко заданы в форме отсчетов с помощью вычислительного устройства.

Рассмотрим применение алгоритмов преобразования Фурье и их применение при анализе звуковой информации. Рассмотрим несколько конкретных реализаций преобразования Фурье, их анализ, а также накладываемые ограничения.

В последние годы инженеры-разработчики электронной аппаратуры, инженеры-проектировщики помещений, звукорежиссеры и люди других профессий, так или иначе связанных с обработкой звуковой информации, большое внимание качеству записываемой, хранимой и обрабатываемой звуковой информации. Одним из критериев качества звуковой информации является спектр сигнала.
При анализе звуковой информации одним из наиболее важных параметров исходного звукового сигнала также является его спектр. Спектр сигнала — это результат разложения сигнала на более простые в базисе ортогональных функций.
В качестве разложения обычно используются преобразование Фурье, разложение по функциям Уолша, вейвлет-преобразование и др. В качестве разложения зачастую используется преобразование Фурье, качестве базисных функций спектра используют синусоидальные и косинусоидальные функции.
Преобразование Фурье —это операция, ставящая в соответствие каждой функции действительного переменного её спектр или Фурье-образ:
(1)
Виды преобразования Фурье:

• 
  непериодический непрерывный или дискретный сигнал можно разложить в интеграл Фурье;
  
• 
  непериодический дискретный сигнал можно разложить в интеграл Фурье;
  
• 
  периодический непрерывный сигнал можно разложить в бесконечный ряд Фурье;
  
• 
  периодический дискретный сигнал можно разложить в конечный ряд Фурье.
  

На практике, обычно, используется последний вид преобразований в связи с тем, что компьютеры способны работать с конечным набором данных.
На данном занятии познакомимся с тригонометрическим рядом Фурье. Для решения таких задач потребуются знания других разделов математического анализа и некоторый практический опыт.
Идея о том, что любая периодическая функция может быть представлена в виде ряда гармонически связанных синусов и косинусов была предложена бароном Жан Батистом Жозефом Фурье (1768−1830).
Ряд Фурье не сложен с точки зрения понимания, однако практические задания требуют просто повышенной концентрации. Ситуация усугубляется тем, что не существует лёгкого способа проверки решения и ответа.
Во-вторых, перед полётом в космос необходимо изучить приборную панель космического корабля. Начнём со значений функций, которые должны щёлкаться на автомате: .
При любом натуральном значении :

1. 
   , и в самом деле, синусоида «прошивает» ось абсцисс через каждое «пи»:
   

.

2. 
   В случае отрицательных значений аргумента результат, само собой, будет таким же: .
   
3. 
   . А вот это знали не все. Косинус «пи эн» представляет собой эквивалент «мигалки»:
   

.
Отрицательный аргумент дела не меняет: .
И, в-третьих, необходимо уметь интегрировать. В частности, уверенно подводить функцию под знак дифференциала, интегрировать по частям и быть в ладах с формулой Ньютона-Лейбница. Начнём с упражнения, необходимые для работы с рядами Фурье.