Лекция №12 План Введение

Моментом инерции J_k системы материальных точек относительно оси L называется сумма произведений масс этих точек на квадраты их расстояний h_k до оси L.
J_L= m_kh
k=1,2,3…N
В случае твердого тела сумму следует заменить интегралом
J_L = h dm
dm= dV, -плотность тела, V-объем тела.
Моменты инерции одинаковых по форме тел ,изготовленных из различных материалов ,отличаются друг от друга характеристикой ,не зависящей от массы тела является радиус инерции.
Радиус инерции относительно оси L определяется равенством :
i=i_L=
Тогда момент инерции относительно оси можно определить по формуле
J_L =Mi²
2. Момент инерции относительно декартовых координат.

Выразим момент инерции системы материальных точек относительно оси J_L для декартовых осей координат. Расстояние k-ой частицы до оси Х определяется из геометрии.

h =Z +Y
h =X +Z
h =X +Y



Подставим в формулу J_L = m_kh получим моменты инерции относительно осей координат:



Расстояние k-ой частицы до центра О определяется
Момент инерции относительно этого центра

Для сплошных твердых тел




2I₀=Ix+Iy+Iz
Центробежные моменты инерции

В механике в качестве характеристик, учитывающих несимметричность в распределении масс, вводят еще так называемые центробежные моменты инерции. Если через любую точку О провести координатные оси OXYZ ,то по отношению к этим осям центробежными моментами инерции называют величины I ,I ,I

I
I
I

где m –массы точек ,

x -координаты точек .
Очевидно, что I и т.д.
Для твердых тел формулы примут вид:

В отличие от осевых моменты инерции могут быть как положительными, так и отрицательными.