Лекция №12 План Введение

Момент инерции относительно параллельных осей .
Существует простая связь между моментом инерции тела относительно параллельных осей .Одна из которых проходит через центр масс.
Теорема
Момент инерции тела Iz, относительно некоторой оси Z1 равен сумме момента инерции Izc тела относительно оси Zc проходящий через центр масс параллельно данной и произведения массы тела на квадрат расстояний между осями:

М-масса тела

d- расстояние между двумя параллельными осями


3. Момент инерции однородного тонкого стержня относительно оси. Момент инерции однородной круглой пластины. Момент инерции однородного круглого цилиндра.

а) однородный стержень длиной L и массой М. Вычислим момент инерции относительно C_Z ,проходящей через центр масс стержня и перпендикулярной к нему.

Z1

Z

Размерность момента инерции [кг∙м] так, что единственная величина, которую мы вычисляем ,это множитель

Момент инерции относительно оси z’ ,проходящей перпендикулярно стержню через его конец, параллельно Z_C , определяется по теореме Гюйгенса-Штейнера.

б)Момент инерции однородной круглой пластинки.
Имеем тонкий однородный диск радиусом R ,массой М. Вычисляем момент инерции относительно точки О.

Z




O

R

X

Y

в) Момент инерции однородного круглого цилиндра.

Радиус цилиндра R, массой М высотой Н.


4. Количество движения точки и системы. Элементарный и полный импульс силы.

Количеством движения материальной точки q называется векторная величина ,равная произведению массы точки на вектор её скорости:

q=
Единица измерения количества движения-кг∙м/с
Количеством движения механической системы Q называют векторную сумму количества движения отдельных точек системы т.е.
Q=
k=1,2,3….n
n-число точек системы
Количество движения механической системы можно выразить через массу системы М и скорость центра масс vc .
Q=M· c=M·vc
Т.е. количества движения системы равно произведению массы всей системы на скорость ее центра масс. Направление Q совпадает с направлением vc,рис

Q vc

В проекциях на прямоугольные оси имеем :
Qx=M· _C
Qy=M· _C
Qz=M· _C
где _C, _C, _C -проекции скорости центра масс системы
Здесь М-масса механической системы не меняется при движении.
Элементарный и полный импульс силы
Действия силы F на материальную точку в течении времени dt можно охарактеризовать элементарным импульсом F·dt.
Полный импульс силы F за время t или импульс силы S,определяют по формуле S= F·dt.
Или в проекциях на координатные оси
Sх= Fх·dt
Sу= Fу·dt, Sz= Fz·dt.Единица импульса силы [Н·с]
5. Теорема об изменении количества движения механической системы.

Пусть к точкам системы приложены внешние и внутренние силы. Тогда для каждой точки системы можно применить дифференциальные законы движения .

,имея ввиду ,что

Суммируя по всем точкам системы, получим

По свойству внутренних сил и по определению имеем

k=1,2,3,…,n
Умножая обе части этого уравнения на dt,получим количества движения в дифференциальной форме: ,
т.е. дифференциал количества движения механической системы равен векторной сумме элементарных импульсов всех внешних сил действующих на точки механической системы. Вычисляя интеграл от обеих частей по времени от 0 до t,получим теорему в конечной или интегральной форме.

В проекциях на координатные оси


Изменение количества движения механической системы за время t,равно векторной сумме всех импульсов внешних сил, действующих на точки механической системы за то же время.
Законы сохранения количества движения
а) если векторная сумма всех внешних сил, приложенных к системе ,равна 0,т.е. ,то Q=const
т.е. если главный вектор внешних сил системы равен 0,то количество движения системы постоянно по величине и направлению.
б) если проекция главного вектора внешних сил на какую-либо координатную ось равна 0,например О_Х, т.е. ,
то проекция количества движения на эту ось величина постоянная Qx=const.


Момент количества движения материальной точки и системы.

Пусть ra-радиус-вектор точки массой mк системы относительно некоторой точки А, называемой центром.

vк Моментом количества движения (кинетическим
mк моментом)точки mк относительно центра А
rкA называют вектор LкА,определяемый по формуле
. А LкА=rкA mкvк

Вектор LкА направлен перпендикулярно плоскости,проходящей через центр А и вектор mvк.

Моментом количества движения (кинетическим моментом) точки mк относительно оси называется проекция на эту ось момента количества движения точки относительно любого выбранного на данной оси центра.
Главным моментом количества движения(кинетическим моментом)системы относительно оси называется проекция на эту ось главного момента количества движения системы относительно любого выбранного на данной оси центра.


6. Теорема об изменении момента количества движения материальной точки.

Пусть vк –скорость точки массой mк системы в инерциальной системе отсчета.

rк – её радиус-вектор относительно начала координат.

Кинетический момент системы относительно начала координат вычисляют по формуле
L0= rк х mкvк (1)
где к=1,2,3…n
Продифференцировав по времени обе части равенство получим
(2)
поскольку т.к. vк vк=0
Если к к-ой точке приложить внешние и внутренние силы, то согласно
mкак= получим
суммируя по всем точкам системы
второе слагаемое ,согласно формуле

подставляя в (2) получим
Правая часть в этом равенстве равна главному моменту М₀( )внешних сил относительно центра О.
Таким образом (3)
Равенство (3) представляет собой теорему об изменении кинетического момента относительно неподвижного центра.