Лекция-19. Фурье катары. Функциялардың ортогонал системасы

Функциялардың ортогонал системасы. Улыўмаласқан Фурье катары.

1.Функциялардың ортогонал системасы

(x) хэм (x) функциялар [a,b] да берилген ҳәм олар усы аралықта интегралланыўшы болсын.
Аныклама 1. Егер болса онда (x) хэм (x) функциялар [a,b] да ортогонал деп аталады.
Мысал. (x)=sinx, хэм (x) функциялар [-,] де ортогонал болады.Себеби (x)=x , (x)=3/2*x² -1 функциялар хәм [-1,1] де ортогонал болады.
Хакыйқатында да

Енди
₀(x), ₁(x), ₂(x),…. _n(x) (82)
функциялардын хәр бири [a,b] да берилген хәм усы аралыкта интегралланыушы болсын. Бул (82) функциялар системасын {_n(x) } деп белгилейик.
Аныклама 2. Егер _n(x) функциялар системасынын калеген еки _n(x) хэм _m(x) функциялары ушын (km) болса ,ол жағдайда
{_n(x) } системасы [a,b] да ортогонал деп аталады. Әдетте k=m , болғанда деп караймыз хәм оны _k аркалы белгилейик.
(83)
Егер (er) система ушын _k=1 болса {_n(x) } функциялар системасы нормаль деп аталады. Егер (82) система ушын

болса , {_n(x) } функциялар системасы ортонормаль деп аталады.
Мысал.2 1,cosx,sinx,cos2x,sin2x……cosnx,sinnx система [-~] де ортогонал болады, себеби km болып болып, ерикли k,m=0,1,2,3… болғанда болады .
Мысал 3. функциялар системасы
[-~] де ортонормал болады. Бул системаның [-~] де ортогонал болыўы анық. Оның [-~] де нормал болыўы болса болыўынан келип шығады.
₀(x), ₁(x), ₂(x),…. _n(x) система берилген болсын. Оның жәрдеминде дузилген
(84)
ши функционал катар {_n(x) } система бойынша катар делинеди .
с₀, с₁, с₂,….. с_n өзгермес санлар болса катардын коэфициентлери деп аталады. Дара жагдайда _n(x)=a_ncosnx+b_nsinnx болганда (84) катар тригонометрик қатарға айланады.
f(x) функция [a,b] аралыкта берилген хәм усы аралыкта интегралланыўшы болсын . Онда f(x) _n(x), n=0,1,2,… функция хәм [a,b] да интегралланыўшы болады. Бул функциялардын интегралларын есаплап оны төмендегише белгилеймиз.
(85)
Бул санлардан пайдаланып
(86)
катарды дузейик.
Аныклама 3. ₀, ₁, ₂,….. _n коэфициентлери (85) формула менен аныкланган (86) катар f(x) функцияның {_n(x) } система бойынша улыўмаласқан Фурье қатары деп аталады. ₀, ₁, ₂,….. _n санлар болса улыўмаласкан Фурье коэфициентлери деп аталады.