Лекция-19. Фурье катары. Функциялардың ортогонал системасы

Лекция-19. Фурье катары. Функциялардың ортогонал системасы.
Биз өткен темаларда функциональ катарды толық көрген едик. Енди ҳәр бир ағзасы u_n(x)=a_ncosnx+b_nsinnx (n=0,1,2,3..) гармоникадан ибарат.
(73)
функциональ катарды караймыз, әдетте (73) катарды тригонометрик катар деп атаймыз. a_0,a_1,b₂,b₃,.. Санлар болса тригонометрик қатардын коэфициентлери деп аталады. f(x) функция [-~] де берилген хэм усы аралықта интегралланыўшы болсын. Бул функциялардын интегралларын есаплап,оларды томендегише белгилеймиз.
(74)
Бул санлардан пайдаланып
(75)
Тригонометрик катарды дуземиз.
Аныклама. a_0,a_1,b₁,b₂,... Коэфициентлери (74) формула менен анықланған (75) тригонометрик катар f(x) функцияның Фурье катары деп аталады ал a_0,a_1,b₁,b₂,..санлар болса f(x) функцияның Фурье коэфициентлери деп аталады.
Жуп хәм тақ функциялардын Фурье катары.
f(x) функция [-~] де берилген жуп функция болсын. Ол [-~] де интегралланыушы. Онда f(x)cosnx жуп ал f(x)sinnx болса тақ функция болады хәм олар [-~] де интегралланыўшы болады. (74) формуладан пайдаланып , f(x) функцияның Фурье коэфициентлерин табамыз.



(76)
Онда Фурье катары Енди f(x) функция [-~] де берилген тақ функция болсын хэм ол усы аралықта интегралланыушы болсын. Бул жагдайда f(x)cosnx так функция, f(x)sinnx болса жуп функция болады. (76) формуладан пайдаланып f(x) функцияның фурье коэфицентлерин табамыз.




Онда Фурье катары
Мысал 1. F(x)=x², (-x) функцияның Фурье қатары жазылсын.



онда
мысал 2. F(x)=x, (-x) функцияның Фурье қатары жазылсын.

демек


[-L, L] аралықта берилген функцияның фурье қатары.
Биз жокарыда [-~] аралықта берилген функция ушын фурье қатары түсинигин кириттик. Бундай түсиникти ерикли [-L, L] аралықта берилген функция ушын хәм киргизиў мумкин. f(x) функция [-L, L] де берилген хэм усы аралықта интегралланыушы болсын. Онда t= алмастырыу [-L, L] аралықты [-~] аралыққа өткереди. Егер деп алынса, (t) функцияны [-~] де берилген хәм усы аралықта интегралланыўшы екенлигин көриу қыйын емес. Бул (t) функцияның Фурье қатары төмендегише болады.

Бул жерде

Жоқарыдағы алмастырыўды есапқа алсақ

болып онын коэфицентлери

болады. Нәтийжеде ка ийе боламыз. Бунда

(73) ның он тәрепиндеги тригонометрик қатарды [-L, L] де берилген f(x) тың Фурье қатары деймиз. Ал (74) Фурье коэфициентлери деп аталады.
Лемма 1. [a,b] аралықта берилген ҳәм интегралланыўшы ерикли (x) функция ушын
(77)
болады.
Дәлиллеў. [a,b] аралықтын базыбир p={x₀,x₁,x₂,…x_n} a=x₀12<…..n=b бөлинбесин алайық. Интегралдын қәсийети бойынша болады. (x) функция [a,b] да шегараланган демек inf |(x): x[x_k,x_k+1]| k=0,1,2,… Оны m_k=inf|(x)| деп белгилейик. Енди (77) интегралды

көринисте жазып s₁ хәм s₂ қосылыўшыны баҳалаймыз. Егер функциянын [x_k,x_k+1], деги тербелиси болса, s₁ ушын
(78)
Теңсизликке ийе боламыз. Шәрт бойынша (x) функция [a,b] да интегралланыўшы онда >0 ушын сондай >0 табылып [a,b] аралықтын диаметри _p<  болған хәр кандай p бөлинбе ушын
(79)
Болады. (r.t) ҳәм (r.y) катнаслардан
|s₁|</2 (80)
Болады. Енди s₂ косылыўшыны бахалаймыз
демек болады. Егер p ны жеткиликли үлкен етип алсақ
(81)
болады. Нәтийжеде жоқарыдағы катнаслардан жеткиликли улкен p ушын
екенлиги келип шығады. Демек
Лемма дәлилленди.
Ескертиу. Леммадағы интеграллар параметрге байланыслы интеграллар.