Лекция №20. Частные производные и дифференциал функции многих переменных. Приближенные вычисления. План

Пример 5. Вычислить приближенно
Решение. Рассмотрим функцию и найдем ее значение в точке (1; 3; 0). Имеем:
Вычислим значения частных производных в точке (1; 3; 0):

Приращение аргументов
Используя далее формулу (8), получаем:



Частные производные и полный дифференциал второго порядка
Заметим, что частные производные функции являются функциями тех же переменных. Эти функции, в свою очередь, могут иметь частные производные, которые называются вторыми частными производными (или частными производными второго порядка) исходной функции.
Например, функция имеет четыре частных производных второго порядка, которые обозначаются следующим образом:
; ;
; .
и - смешанные частные производные.
Пример 6. Найти частные производные второго порядка для функции
.
Решение. Сначала найдем частные производные первого порядка
, .
Теперь вычислим частные производные второго порядка
, ,
, .

Полный дифференциал второго порядка:

=
= .
Значит, полный дифференциал второго порядка вычисляется по формуле
= .
Задачи


A. Найдите частные производные первого порядка функции:
1) 2)
3) 4)


B. Найдите частные производные и вычислите их значения в указанной точке М₀:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
C. Найдите полный дифференциал функции:
1)
2)
3)
4)


D. Вычислите приближенно значение:
1)

2)

3)

4)