Лекция-27. I ҳәм II – түр иймек сызықлы интеграллар. Грин формуласы. I түр иймек сызықлы интегралды есаплаў

Лекция-27. I ҳәм II – түр иймек сызықлы интеграллар . Грин формуласы.
I түр иймек сызықлы интегралды есаплаў

АВ доғасы бойынша алынған I түр иймек сызықлы интеграл деп төмендеги интеграл қосындыға айтамыз.

Параметрли көринисте берилген I түр иймек сызықлы интегралды есаплаў.

Егер АВ иймеклиги
үзликсиз дифференциалланыўшы функциялар болсын. Онда

коринисте болады. Егер функция уш озгериушили болса f(x,y,z) яғный ол жагдайда

Формула менен есапланады.

Егер иймек сызық анық көринисте берилсе үзликсиз дифференциалланыўшы функция онда

формула менен есапланады. Бунда
Егер поляр координаталарда берилсе онда болып

Формула менен есапланады.
Екинши түр иймек сызықлы интеграллар.

Мейли бизге туйық емес, үзликсиз (АВ) иймеги берилген болып, усы иймек бойында анықланған функциясын алайық. Бул иймекти ноқатлары менен бөлеклерге бөлейик. Ҳәр бир бөлектен ерикли түрде ноқаттан алайық.

Кейин мәнисти есаплап, бул мәнисти доғаның узынлығына емес, ал усы доғаның, мәселен, көшерине болған проекциясының шамасына, яғный ге көбейтейик. Кейин

интеграллық қосындыны дүзейик.
Анықлама. Егерде да интеграллық қосынды (АВ) иймегин бөлиў усылына ҳәм бөлеклерден ноқатларды таңлап алыў усылына байланыслы болмаған анық бир шекли шекке ийе болса, онда бул шекке функциясынан иймеги бойынша алынған екинши түр иймек сызықлы интеграл деп аталады ҳәм төмендегише белгиленеди

Егерде мәнисти ге, яғный доғаның көшерине болған проекциясының шамасына көбейтсек ҳәм төмендеги интеграллық қосындыны дүзсек
,
онда бул ингеграллық қосындының дағы шеги бизге төмендеги екинши түр иймек сызықлы интегралды береди

Улыўма жағдайда, егерде иймеги бойлап ҳәм функциялары анықланған ҳәм төмендеги екинши түр иймек сызықлы интеграллары бар болса
,
онда олардың қосындысы да екинши түр иймек сызықлы интеграл делинип, былайынша жазылады`

Екинши түр иймек сызықлы интеграл болған жағдайда бағыт әлбетте роль ойнайды, яғный

Тап усы сыяқлы, егерде иймеги үш өлшемли кеңисликте берилсе ҳәм функциясы усы иймектиң ноқатларында анықланған болса, онда төмендеги екинши түр ийсек сызықлы инегралларды анықлаўға болады`
,

Улыўма көринистеги

интегралы да қарастырылады.
Енди екинши түр иймек сызықлы интегралды қалай есаплаўды көрип өтейик.
1. Мейли иймегиниң теңлемеси параметрли көринисте, яғный

теңлемеси менен берилсин. Биз бул функцияларды ҳәм олардың туўындыларын үзликсиз функциялар деп, сондай-ақ функциясында да үзликсиз деп уйғарамыз. Егерде параметр ден ға шекем өсирсе, онда иймегимиз ноқатынан баслап ноқатына шекем созылады деп есаплаймыз.
Бул уйғарыўлар орынланғанда төмендеги теңликлери орынлы болатуғынлығын көрсетиў қыйын емес (дәлиллениўин оқыўшылардың өзлерине усынамыз)`


w. Егерде иймегиниң теңлемеси, ямаса түринде берилсе, онда төмендеги теңликлери келип шығады`


Биз ҳәрдайым оң бағыт ретинде саат тилиниң қозғалыўына қарсы айналыўды түсинемиз.


Биринши ҳәм екинши түр иймек сызықлы интеграллар арасындағы байланыс.
Мейли тегисликте әпиўайы сыйпақ иймек сызық

система менен анықланған болсын, бунда s-доғаның узынлығы, ҳәм функциялар үзликсиз туўындыларға ийе деп есаплаймыз. Бул иймек сызық ҳәр бир ноқатында урынбаға ийе екенлиги айқын. Егер ҳәм көшерлери менен урынбаның доғаның өсиў таманына қарап бағыты арасындағы мүйешлерди сәйкес ҳәм десек, онда
,
болады. Бизге белгили

теңлик орынлы. Бул теңликтиң оң жағындағы интегралды төмендегише жазыўға болады

Буннан

деген сөз. Солай етип

Усы сыяқлы екенлиги келип шығады.
Улыўма жағдайда

болады.