Лекция-27. I ҳәм II – түр иймек сызықлы интеграллар. Грин формуласы. I түр иймек сызықлы интегралды есаплаў

Грин формуласы ҳәм оның қолланылыўы.

Төменде келтирилетуғын бул формула иймек сызықлы интеграл менен қос интергал арасындағы байланысты аңлатады.

Мейли бизге жабық областы берилген болып оның контурын Г дейик. Усы областың ишинде ҳәм контурында үзликсиз болған ҳәм функциялары берилген болсын. Биз ҳәм туўындыларын да областында үзликсиз деп есаплаймыз. Онда төмендеги формула орынлы болады`

Бул формулаға Грин формуласы деп аталады.
Дәлиллеў. Шәрт бойынша областы жабық Г контуры менен шегараланған. Бул формуланы төмендеги әпиўайы жағдай ушын дәлиллеў менен шекленемиз яғный координата көшерлерине параллель жүргизилген туўры сызықлар Г контурын екеўден артық болмаған ноқатларда кессин, сондай-ақ Г контурында координата көшерлерине параллель туўры сызықлы кесиндилерде болыўы мүмкин. Г контурының

к өшерине проекциясын дейик көшерине парал-лель болған ҳәм туўрыларын жүр-гизейик ҳәм Г контурының төменги , жоқарғы бөлеги ни ажыратып алайық. Мейли иймегиниң теңлемеси , иймегиниң теңлемеси болсын. Төмендеги қос интегралды есаплайық`

qq-сүўрет

Бирақ


Сондай-ақ
,
себеби кесиндиде , онда .
Сонлақтанда


Солай етип,
(qu.q)
Тап усылайынша
(qu.w)
екенлигин көрсетиўге болады. Егерде (qu.w) ден (qu.q) ди алсақ жоқарыдағы Грин формуласына ийе боламыз.
Егерде Грин формуласында деп алсақ

формуласына ийе боламыз. Солай етип иймек сызықлы интеграл жәрдеми менен майданды табыў формуласы төмендегише жазылады екен`
.
Иймек сызықлы интегралдың интеграллаў жолының формуласына байланыслы емеслик шәртин аңлатыўшы төмендеги теорема орынлы болады.
Теорема. Мейли ҳәм функциялары областында үзликсиз ҳәм үзликсиз туўындыларға ийе болсын.

болыўы ушын областындағы сыйпақ туйық Г контуры қандай болғанда да

бирдейликтиң областында орынланыўы зәрүр ҳәм жеткиликли.