Лекция №3 Уравнения в полных дифференциалах. Вопросы

Пример. Рассмотрим уравнение .
Решение. Здесь , , так что условие (2) выполнено и, следовательно, данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Применяя формулу (5) при , получим общий интеграл исходного дифференциального уравнения в виде

или
.
В некоторых, правда весьма редких, случаях, когда уравнение (1) не является уравнением в полных дифференциалах, все же удается подобрать функцию , после умножения на которую левая часть (1) превращается в полный дифференциал
.
Такая функция называется интегрирующим множителем. Из определения интегрирующего множителя имеем

или
,
,
откуда
,
. (6)
Таким образом, для нахождения интегрирующего множителя мы получили уравнение в частных производных.
Отметим некоторые частные случаи, когда удается сравнительно легко найти решение уравнения (6), т.е. найти интегрирующий множитель.
1. . Тогда и уравнение (6) примет вид
.
Для существования интегрирующего множителя, не зависящего от у, необходимо и достаточно, чтобы правая часть последнего равенства была функцией только от х.
Пример. Рассмотрим уравнение .
Решение. Здесь , .
Имеем .
Следовательно,
, , , .
Уравнение

есть уравнение в полных дифференциалах. Решите это уравнение самостоятельно.
2. Аналогично , если . Тогда и уравнение (6) примет вид
,
.
Для существования интегрирующего множителя, не зависящего от х, необходимо и достаточно, чтобы правая часть последнего равенства была функцией только от у.
Пример. .
Решение. Здесь , . Имеем
.
Следовательно,
, , .
Уравнение

является уравнением в полных дифференциалах. Решите это уравнение самостоятельно.