Лекция №3 Уравнения в полных дифференциалах. Вопросы

8. Уравнения Лагранжа и Клеро.
Уравнение вида
, (7)
линейные относительно х и у, называется уравнением Лагранжа.
Уравнение (7) может быть проинтегрировано путем введения параметра . Действительно,
, .
Но и, следовательно,

или
.
В результате мы получили линейное по отношению к х и уравнение, которое легко может быть проинтегрировано методом вариации постоянной. Интеграл этого линейного уравнения совместно с уравнением

определяет интегральные кривые исходного уравнения.
Пример. Проинтегрировать уравнение
.
Решение. Полагаем . Тогда .
Дифференцируя, находим
,
откуда или .
Получили уравнение 1-го порядка, линейное относительно х. Решая его, находим
,
,
.
Подставляя найденное значение х в выражение для у, окончательно получим
,
,

Интересный частный случай возникает, если в уравнении Лагранжа , т.е. когда уравнение имеет вид
. (8)
Уравнение, имеющее вид (8) называется уравнением Клеро.
Полагая , получим

и, дифференцируя, найдем: или , откуда
1. , или 2. .
Общее решение уравнения Клеро имеет вид
.
Уравнение Клеро может иметь еще особое решение, которое получается исключением р из уравнений , .
Пример. Проинтегрировать уравнение
, .
Решение. Полагая , получим
.
Дифференцируя последнее уравнение и заменяя на , найдем
,
откуда
.
Исследуем оба множителя левой части последнего уравнения. Приравнивая к нулю первый множитель, получим
,
откуда и общее решение исходного уравнения есть
.
Приравнивая к нулю второй множитель, будем иметь
.
Исключая р из этого уравнения и из уравнения , получим - особое решение исходного уравнения.