Лекция №2 Линейное преобразование векторов из одного линеала в другой Линейное отображение. Оператор преобразования

Лекция №2
Линейное преобразование векторов из одного линеала в другой

1. 
   Линейное отображение. Оператор преобразования.
   
2. 
   Матрица линейного оператора. Её преобразование при смене базиса.
   
3. 
   Диадное преобразование векторов.
   

2.1. Линейное преобразование векторов. Оператор преобразования.
Один из важнейших понятий в математике является понятие функции. По определению для задания функции необходимо указать два множества X, Y вещественных чисел и сформулировать правило, по которому каждому числу из множества X (xєX) ставиться в соответствие (yєY). Это правило и представляет собой однозначную функцию вещественного переменного x, заданную на множестве X.
При введении понятия функции в матричной алгебре множества X и Y могут быть не только множествами вещественных чисел, но и множество векторов и др. При этом правило, по которому каждому элементу xєX ставиться в соответствие единственный элемент yєY называеться оператором. Результат применения оператора A к элементу x обозначается:
y=A(x); y=Ax (2.1)
При этом говорят: оператор A действует из X в Y или отображает X в Y.
Множество X – область определения оператора A.
Множество Y – область значений оператора A.
Элемент y – образ элемента x.
Элемент x - прообраз элемента y.
Оператор A называют отображением.
В курсе рассматриваются линейные отображения, так как их областью определения является линейное пространство и их свойства связаны с операциями над векторами линейного пространства.
Определение: Пусть заданы множества X, Y над одним и тем же полем вещественных чисел P. x – область определения A, y – область значений A. Оператор A называется линейным, если
1) свойство дистрибутивно: A(αu+βv)=αAu+βAv, (2.2)
где u,vєX, α,βєP.