Лекция №2 Линейное преобразование векторов из одного линеала в другой Линейное отображение. Оператор преобразования

координаты l_ij определяют матрицу:
(2.17)
Это матрица преобразования координат при переходе от базиса e₁, …, e_m к базису f₁, …, f_m.
Пусть задан вектор xєX, разложенный по вектора обоих базисов:
(2.18)
тогда:

получено, что:
(2.20)
i=1,2, …, m
(2.20) – формулы преобразования координат
то есть в общем виде можно записать
x_e=Lx_f → x_f=L^-1x_e (2.21)
Рассмотрим 2 пространства X, Y, в которых имеется по 2 базиса:
в x: e₁, …, e_m и f₁, …, f_m.
в y: q₁, …, q_n и t₁, …, t_n.
Обозначим через L матрицу преобразования координат от e_m к f_m, а через Q от q_n к t_n то есть:
x_e=Lx_f, y_q=Qy_t (2.22)
одному и тому же оператору A в первой паре базисов (e_m, q_m) соответствует координатное равенство:
y_q=A_qex_e, (2.23)
для второй пары базисов:
y_q=A_qex_e. (2.24)
Получено, что у двух пар базисов для одного и того же оператора A имеется две матрицы A_qe, A_tf.
подставим (2.22) в (2.23):
Qy_t=A_qeL_xf,
От куда
Y_t=(Q^-1A_qeL)x_f. (2.25)
Сравнивая (2.25) и (2.24):
A_tf=Q^-1A_qeL (2.26)
(2.26) – соотношение, связывающие матрицы одного и того же оператора в разных базисах.


Диадное произведение векторов (базиса)
Скалярное произведение двух базисных векторов называется диадой:
e_ie_j,
Свойства диад:

1. 
   e_ie_j= e_je_i
   
2. 
   e_i(ae_j + be_k)=ae_ie_j + be_ie_k,
   

a,b - числа

3. 
   Каждой диаде ставится в соответствие матрица 3*3, состоящая из нулей и одной единицы: