Лекция №2 Линейное преобразование векторов из одного линеала в другой Линейное отображение. Оператор преобразования

2) A(αx)=αAx (2.3)
Свойства линейного оператора (отображения) A:
1) нулевой оператор – ставит каждому вектору xєX в соответствие нулевой вектор 0єY;
0=0x (2.4)
2) Единичный оператор (E) – ставит в соответствие вектору xєX этот же вектор:
x=Ex (2.5)
3) Оператор B, действующий из пространства X в пространство Y согласно выражению
Bx=-Ax (2.6)
называется противоположенным оператором оператору A.
4) Два оператора A, B действующие из X в Y называется равным если выполняется равенство Ax=By (2.7)


Матрица линейного оператора
Поскольку в разных областях математики зачастую приходится оперировать одновременно несколькими множествами, тесно связанными, друг с другом, то использование линейного отображения (оператора) значительно упрощает действия и приводит к оперированию матрицами.
Пусть существует два пространства X,Y. Из X в Y действует линейный оператор A.
Пространство X характеризуется совокупностью базисов e_k, а пространство Y - совокупность f_k. Тогда существует и единственный линейный оператор A, действующий из X в Y, который переводит каждый вектор e_k в соответствующий вектор f_k.
Возьмём произвольный вектор xєX и разложим его по базису пространства X.
x=α₁e₁+α₂e₂+…+α_ne_n (2.7)
тогда, если существует A:
(2.8)
Определение: Линейный оператор A действующий из X в Y, определяется областью значений (образов) Ae₁, Ae₂, …, Ae_m, любого фиксированного базиса e₁, e₂, …, e_m пространства X.