Зафиксируем в X базис e1, e2, …, em, а в Y – f1, f2, …, fm. Вектор e1 переводится оператором A в некоторый оператор Ae1 пространства Y, который, как всякий вектор этого пространства, можно разложить по базисным векторам:
Ae1=a11f1 + a21f2 + … + an1fn
Ae2=a12f1 + a22f2 + … + an2fn
: (2.9)
:
Ae1ma1m1 + a2m2 + … + anmfn
Таким образом, линейный оператор A может быть представлен матрицей коэффициентов:
(2.10)
Матрица оператора A в выбранных базисах. Её столбцами служат координаты векторов Ae1, Ae2, …, Aem относительно базиса f1, f2, …, fm. Элемент матрицы aij определяется следующим образом. К вектору ej применяют оператор A и y полученного образа берут координату:
aij={Aej}i (2.11)
Далее выясним как выражаются координаты произвольного вектора x и элементы матрицы оператора.
Пусть:
, (2.12)
тогда:
(2.13)
сравнивая (2.12) и (2.13) видно, что
, i=1,2,…,n (2.14)
… Координатное равенство (2.15)
каждый линейный оператор при фиксированных базисах в пространствах X, Y порождает соотношения (2.15), связывающие координаты образа и прообраза. Для определения координат образа необходимо вычислить левые части соотношений. А для нахождения координат прообраза, необходимо решать систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных α1, α2, …, αm. Матрица этой системы совпадает с матрицей оператора.
Аксиома: Каждая n*m – матрица является матрицей некоторого линейного оператора, действующего из m-мерного пространства X в n-мерное пространство Y, при фиксированных базисах в этих пространствах. То есть между линейным оператором и прямоугольной матрицей устанавливается взаимно однозначное соответствие при любых фиксированных базисах.
При фиксированных базисах в пространствах координатное равенство позволяет исследовать действие линейного оператора A. В общем случае матрицы операторов зависят от базисов.
Рассмотрим эту ситуацию.
Пусть e1, …, em, f1, …, fm – два базиса одного и того же m-мерного пространства X. Векторы f1, …, fm однозначно определяются своими разложениями по базису e1, …, em
f1=l11e1 + l21e2 + … + lm1em
… (2.16)
fm=l1me1 + l2me2 + … + lmmem
Do'stlaringiz bilan baham: |
