Предел функции одной переменной. Определение функции. Терминология. Пусть Х, y некоторые множества. Опр

Предел функции одной переменной.

Определение функции. Терминология.
Пусть Х, Y - некоторые множества.
Опр.4.1.1. Функцией называется любое правило (закон), которое каждому элементу хХ ставит в соответствие определённый элемент у Y.
Обозначение функциональной зависимости: y = f(x) или f : XY. Множество Х называется областью определения функции, множество Y_f = f(X) = {y| y = f(x), xX}Y - областью значений функции. (Смысл записи f : XY состоит в том, что функция y = f(x) отображает множество Х в множество Y. Если образ множества X при отображении f : XY полностью "накрывает" множество Y, т.е. Y_f = Y, то отображение f : XY называется отображением Х на Y. Так, функция y = x² отображает отрезок [ 1, 2] в отрезок [ 1,10] и на отрезок[ 1, 4]).
В этом семестре мы будем рассматривать действительнозначные функции одной действительной переменной, т.е. XR, YR. Множество точек {(x,y)| xX, y = f(x)} на плоскости будем называть графиком функции y = f(x).
Обычно перечисляются следующие способы задания функции: аналитический, графический, табличный.
Введем важное определение суперпозиции функций:
Опр.4.1.2. Пусть даны функции  : ТХ и f : XY. Функция F : ТY, ставящее в соответствие элементу tT элемент у Y по правилу y=f((t)), называется суперпозицией функций f и  (или сложной функцией).
Так, функция y=sin(x⁵) есть суперпозиция функций z= x⁵ и y=sin(z).
Предполагается, что студенты знают свойства и графики основных элементарных функций (степенной y = x^; показательной y = a^x, a>0, a1; логарифмической y = log_a x, a>0, a1; тригонометрических y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x; обратных тригонометрических y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x) и умеют строить эскизы графиков элементарных функций (функций, получающихся из основных элементарных с помощью конечного числа арифметических действий и суперпозиций). К основным функциям отнесём также гиперболические функции: синус гиперболический y = sh x, косинус гиперболический y = ch x, тангенс гиперболический y = th x, котангенс гиперболический y = cth x и обратные им арксинус гиперболический y = ar sh x, арккосинус гиперболический y = ar ch x, арктангенс гиперболический y = ar th x, арккотангенс гиперболический y = ar cth x, основные сведения о которых будут приведены ниже.
Примеры неэлементарных функций:
Функция Е(х) - целая часть х - наибольшее целое число, не превосходящее х (график справа);
Функция Дирихле:

Функция Римана:

Г рафик функции Римана на отрезке [1,2] качественно изображён справа (построены рациональные точки со знаменателями ). Основной факт, который очевиден из рисунка и который нам понадобится в дальнейшем – при любом 0 выше линии у= лежит не более чем конечное число точек графика.
Напомним терминологию, применяемую для описания свойств функций.