Предел функции одной переменной. Определение функции. Терминология. Пусть Х, y некоторые множества. Опр

Опр. 4.3.2. Число а называется пределом последовательности , если для любого положительного числа  существует такое натуральное число N (зависящее от ), что для членов последовательности с номерами n>N выполняется неравенство | a_n - a |<.
Обозначения: ; ; при .
Если при , то говорят также, что последовательность сходится к числу а.
Краткая форма записи определения: .
Неравенство |a_n - a|< эквивалентно двустороннему неравенству -< a_n - a < или a-< a_n <a+. Таким образом, смысл неравенства | a_n - a |< заключается в том, что для >0 мы можем найти такое N, что все точки a_n с номерами индексов n>N лежат внутри интервала U_(a) =
(
a-,a+), т.е. вне этого интервала лежит не более чем конечное число точек последовательности. Докажем, например, что последовательность при сходится к двум. Возьмём >0. Требуется доказать, что существует такое N=N(), что при n>N выполняется неравенство |a_n-a|<, т.е. . Таким образом, если в качестве N=N() мы возьмём N()= (где Е(х)-определённая выше функция - целая часть числа х), то при n>N выполняется неравенство , что и требовалось. Расположение нескольких первых членов последовательности на числовой оси приведено на рисунке снизу. Сходимость последовательности к числу 2 выражается в том, что члены последовательности сгущаются около точки х=2.